производная 10 класс


Подготовил Хыля Александр Александрович. 10 класс

Тема «Производная, ее геометрический и механический смысл»

Цели урока:

изучить скорость изменения функции в точке, дать понятие производной, сформировать представление о касательной к графику  функции в точке;

способствовать  воспитанию у школьников  интереса к изучаемой теме и  ценностного отношения к труду и  полученным  знаниям;

способствовать  развитию  навыков  частично-поисковой  познавательной    деятельности.

Ход урока:

Организационный момент                                      

Изучение нового материала                       

Производная. Рассмотрим некоторую функцию  f ( ) в двух точках  x0  и  x0 + :  x0 ) и  f ( x0 +  ). Здесь через  обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  x0 +  ) — f ( x0 ) называется приращением функции. Производной функции  f (x ) в точке  x0  называется предел:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  f ( ): 

Из рис. видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где   — угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то   неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.



Уравнение касательной. Выведем уравнение касательной к графику функции в точке A ( x0 ,  f ( x0  ) ). В общем случае уравнение прямой с угловым коэффициентом  f ’( x0 )  имеет вид: 

y = f ’( x0 ) · x + b .

Чтобы найти b, воспользуемся тем, что касательная проходит через точку A:

f ( x0 ) = f ’( x0 ) · x0 + b ,

отсюда,  b =  f ( x0 ) – f ’( x0 ) · x0 , и подставляя это выражение вместо  b, мы получим  уравнение касательной:

y =  f ( x0 ) +  f ’( x0 ) · ( x – x0  ) .

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t0  до  t0 +   точка перемещается на расстояние:  x ( t0 +  ) — x ( t0 ) = , а её средняя скорость равна:  va =  /  . При    0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t0 )  материальной точки в момент времени  t0 . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v t0 ) = x’ t0 ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производнойАналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ t ).

Решить: № 183, 184, 185, 191, 192.

Д/з: № 186, 189, 193. Пункт 4.