олимпиадные задачи(5 класс)


Белорусский государственный педагогический университет

имени Максима Танка

Олимпиадные задачи

(5класс)

Выполнили

Студенты 401 группы

Тальковская Л.К.

Момотюк О.С.

Минск, 2011

За квадратным столом могут сидеть только 4 человека (по одному с каждой стороны). На школьном вечере 10 таких столов были поставлены друг за другом в один раз, так, что получился один длинный прямоугольный стол. Какое наибольшее число школьников может сесть за этот длинный стол?

Квадрат 10×10 состоит из 100 клеток, которые окрашены по диагоналям последовательно в красный, белый, голубой, зелёный, фиолетовый, красный, белый, голубой … цвет (см. рис.). В какой цвет окрашена клетка в нижнем правом углу квадрата?

к

б

г

з

ф

б

г

з

ф

г

з

ф

з

ф

ф

?

Сколько всего существует различных способов окрасить куб в 2 цвета так, чтобы у него 3 грани были синие и 3 ̶ красные? (Две окраски куба считаются одинаковыми, если кубы можно «совместить» так, что совпавшие грани будут окрашены одинаково.)

Аня подсчитала сумму наибольшего и наименьшего из двухзначных чисел, которые делятся на 3, а Вася ̶ сумму наибольшего и наименьшего из двухзначных чисел, которые не делятся на 3. Насколько сумма, полученная Аней, больше суммы, которую получил Вася?

Девочка заменила каждую букву в своем имени её номером в русском алфавите. Получилось число 2011533. Как её зовут?

Задание

Баллы

№1

5 баллов

№2

7 баллов

№3

7 баллов

№4

6 баллов

№5

5 баллов

Итого

30 баллов

Решения:

Если бы столы не были сдвинуты, то согласно условию за ними могло бы сесть 10∙4=40 школьников. Между десятью столами, сдвинутыми в ряд, имеется 9 промежутков, в каждом из которых соприкасаются две стороны соседних столов. Поэтому каждый такой промежуток уменьшает число школьников, которые могут сесть за стол, на 2. Следовательно, за образовавшийся стол могут сесть 40- 9∙2=22 школьника.

Ответ: 22 школьника.

Для того чтобы определить, в какой цвет будет окрашена клетка в правом нижнем углу квадрата, совсем не обязательно, следуя правилам из условия задачи, окрашивать его полностью. Достаточно, например, рассмотреть квадрат и заметить, что цвета клеток, расположенных в одной строчке или одном столбце, чередуются в точности так же, как указано в условии задачи. Поэтому достаточно последовательно окрасить сначала, скажем, клетки верхней строчки, а затем ̶ правого столбца (см. рис.)



к

б

г

з

ф

к

б

г

з

ф

б

г

з

ф

к

г

з

ф

б

з

ф

г

ф

з

ф

к

б

г

з

Ответ: зелёный.

Поскольку три грани куба окрашиваются в синий цвет, а три другие ̶ в красный, то при сравнении окрасок достаточно рассматривать только синие грани. Если совпадут три синие грани двух кубиков, то автоматически совпадут и остальные (красные) грани. Теперь заметим, что существуют окраски только двух видов: либо у кубика есть две синие противоположные грани, либо у него нет двух синих противоположных граней. Понятно, что никакая окраска первого вида не может совпадать ни с одной окраской второго вида. Остается показать, что существует только по одной окраске каждого вида.

а) Повернув кубик соответствующим образом, можно считать, что противоположными синими гранями являются верхняя и нижняя. Тогда, независимо от того, где окажется расположенной ещё одна синяя грань, повернув при необходимости кубик относительно оси, проходящей через центры верхней и нижней грани, можно добиться того, что третьей синей будет любая боковая грань. Поэтому существует только одна окраска такого вида.

б) Если никакие две синие грани не являются противоположными, то все они имеют общую вершину. Повернув кубик соответствующим образом, можно считать, что ею является вершина А. Так что, и в этом случае существует только одна окраска.

Ответ: 2 окраски.

Наибольшее двухзначное число, которое делится на 3, это число 99, а наименьшее ̶ 12. Поэтому сумма, которую подсчитала Аня, равна 99+12=111. Наибольшее двузначное число, которое не делится на 3 ̶ 98, а наименьшее ̶ 10. Поэтому сумма, которую посчитал Вася, равна 98+10=108, 111-108=3

Ответ: 3

Поскольку все женские имена в русском языке оканчиваются либо на «а», либо на «я», то последней буквой имени будет буква «я», которая имеет 33 номер в русском алфавите. Первой будет буква «т» ̶ 20 буква алфавита, т.к. нулевого номера не существует. Для числа 115 есть два способа замены буквами:

а) 1 и 15 ̶ буквы «а» и «н»,

б) 11 и 5 ̶ буквы «к» и «д».

Случай б) не подходит, так как в имени не может идти три согласные буквы подряд. Следовательно, девочку зовут Таня.

Ответ: Таня.

Литература:

Международный математический конкурс “Кенгуру 2007”, стр.11, задача №3;

Международный математический конкурс “Кенгуру 2006”, стр.13, задача № 14;

Международный математический конкурс “Кенгуру 2007”, стр.13, задача № 17;

Международный математический конкурс “Кенгуру 2006”, стр.15, задача № 24;

www.matholimp.livejornal.com