математика 3 курс 1 сесия


Задание 11. Движение тела на плоскости задано функцией y = f(x). Изучить траекторию движения тела, то есть:

1. Исследовать функцию y = f(x), 2. Построить график функции y = f(x)

Решение

1. область определения функции:

2. точек разрыва нет

3. функция является четной, так как

4. найдем точки пересечения с осью Ох, решив уравнение у = 0:

Точки (-3; 0) и (3,0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Точки пересечения с осью Оу найдем, положив х = 0: х = 0, у = -9.

Точка (0; -9) – точка пересечения графика с осью Оy

5. Найдем наклонные асимптоты вида y = kx + b, где k = ,

b = .

Тогда k = .

Следовательно, наклонных асимптот нет.

6. определим промежутки возрастания, убывания функции и точки экстремума, для чего найдем критические точки первого рода:

Так как при х = 0 и х =-2, x=2, следовательно, они являются критическими точками. Других критических точек нет

Полученные данные занесем в таблицу

х

-2

(-2; 0)

0

(0,2)

2

+

0

0

у

убывает

-25

Возрастает

-9

Убывает

-25

Возрастает

Функция на интервалах и убывает и возрастает на (-2; 0) и

Значит, точки (-2, -25) и (2, -25) есть точки минимума, а точка (0; -9) – точка максимума

7. определим промежутки выпуклости и вогнутости и точки перегиба, для чего найдем критические точки второго рода:

Так как при х =, то они являются критическими точками. Полученные данные занесем в таблицу

х

(

+

0

0

+

у

вогнута

выпукла

вогнута

Функция на интервале и вогнута и выпукла на интервале .

Точки и есть точки перегиба графика функции.

8. по полученным данным строим график:\

Задание 27. Найти производные функций



Решение

а)

б)

Задание 37. В следующих уравнений найти: 1) общее решение дифференциальных уравнений, 2) частные решения уравнения по начальным условиям

Решение

1)

Интегрируем

2)

Получаем частное решение

Задание 54. Разложить в ряд Маклорена и найти интервалы сходимости функций, б) исследовать ряд на сходимость по признаку Даламбера

Решение

а)

Разложим подынтегральную функцию по формуле

Найдем радиус сходимости

Следовательно, областью сходимости исходного ряда является вся числовая прямая.

б)

Применим признак Даламбера

Так как d = e > 1, то данный ряд сходится.

Задание 78. Вероятность выхода станка из строя в течение одного рабочего дня равна 0,01. Какова вероятность того, что за 5 дней станок ни разу не выйдет из строя.

Решение

Вероятность выхода станка из строя равна 0,01, то вероятность того, что он не выйдет из строя в течение дня равна q = 1- p = 1 – 0,01= 0,99.

Событие «станок не выйдет из строя в течение 5 дней» означает, что станок не выйдет из строя ни в первый, ни во второй, ни в третий, ни в четвертый, ни в пятый день.

По теореме о умножении вероятностей получаем, что искомая вероятность равна

Задание 91. Найти значение функции (четыре значения), определяемое дифференциальным уравнение при начальном условии у(0), с шагом h, используя метод Эйлера

Решение

При h = 0,1 последовательные значения аргумента будут:

Вычислим соответствующие значения исходной функции

Получаем

Х

0

0,1

0,2

0,3

у

1,1

1,18

1,25

1,31

Литература

Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах./ Данко, П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. – М : Высшая школа,1980 г. – ч.1 – 320 с.; ч.2. – 400 с.

Письменный, Д.Г. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. –9-е изд. – М.,2009. – 603 с.

Соболь Б. В. Практикум по высшей математике / Б. В. Соболь, Н. Т. Мишняков, В. М. Поркшеян. – Изд. 3-е. – Ростов н/Д: Феникс, 2006. – 640 с.