формулы 10 класс


Числовые последовательности

Арифметическая прогрессия

d — разность арифметической прогрессии.

Формула общего члена:

Формула суммы n первых членов:

Свойства:

1) n-ый член арифметической прогрессии является средним арифметическим равноудаленных от него членов прогрессии:

2) Сумма членов, равноудаленных от концов, равны.

Геометрическая прогрессия

q — знаменатель геометрической прогрессии, q

Формула общего члена:

Формула суммы n первых членов: при q ≠ 1

Формула произведения первых n членов:

Свойства:

1)Каждый член есть среднее геометрическое соседних членов:

2)Логарифмы членов геометрической прогрессии (если определены) образуют арифметическую прогрессию.

Комбинаторика

— число перестановок

— число размещений

— число сочетаний

Задача 1 Составить из трех цифр 1, 2, 3 всевозможные размещения, перестановки, сочетания.

Решение:

Перестановки: 123, 132, 213, 231, 312, 321.

Размещения: по одному – 1, 2, 3; по два – 12, 21, 13, 31, 23, 32.

Сочетания: по одному – 1, 2, 3; по два – 12, 13, 23; по три – 123.

биномиальные коэффициенты

Биномиальные коэффициенты удобно располагать в виде треугольника Паскаля.

n=01

n=111

n=2121

n=31331

n=414641

n=515101051

n=61615201561

Площадь треугольника

Где:

 — высота, проведённая на сторону ,



 — полупериметр,

 — радиус вписанной окружности,

 — радиус описанной окружности,

 — координаты вершин треугольника.

, так как , то:

— если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам.

— если треугольник задан по стороне и двум прилежащим к ней углам.

— для прямоугольного треугольника.

— для равностороннего треугольника

Для площади справедливы неравенства:

, причём оба равенства достигаются.

, где равенство достигается для равнобедренного прямоугольного треугольника.

Теорема синусов

Теорема косинусов

Теорема 1. (О медианах)

1) Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроид, или центр масс), и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины.

2) Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Длина медианы:

Теорема 2. (О биссектрисах)

Длина биссектрисы:

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. ( см. рис. 1 )

Рис.1

Теорема 3. (О высотах)

1) Три высоты треугольника или три прямые, на которых лежат высоты, пересекаются в одной точке (ортоцентр).

2) Если соединить основания двух высот AM и BH, то образуется треугольник, подобный данному ( коэффициент подобия равен ).