Учебно-методическое пособие Рекомендовано методической комиссией

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ

ЧАСТЬ II

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией

механико-математического факультета для студентов ННГУ, обучающихся по специальностям 020100.62 «Химия», 240100.62 «Химическая технология и биотехнология»

Нижний Новгород

2012

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. РУКОВОДСТВО К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ. ЧАСТЬ II. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ.

Ш 55 Составители: Шишина В.Т., Филиппова Н.М.: Учебно-методическое пособие.- Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2012 – 35 с.

Рецензент: к.ф.-м.н., доцент В.А. Зорин.

В настоящем учебно-методическом пособии приводятся краткие теоретические сведения и формулы, а также подробные решения типовых задач и достаточно большое количество задач с ответами для самостоятельного решения одного из разделов теории вероятностей «Случайные величины».

Цель пособия — помочь студентам лучше осмыслить теоретический материал и привить навыки в его использовании к решению конкретных задач.

Учебно-методическое пособие, предназначенное для студентов химического факультета, будет полезно и студентам других факультетов ННГУ, а также студентам вузов, изучающим высшую математику, и преподавателям для проведения практических занятий.

Ответственный за выпуск: председатель методической комиссии механико-математического факультета ННГУ, кандидат физ.-мат. наук, доцент Н.А. Денисова.

УДК 519.21

ББК В 171

Ш 55

Содержание

TOC \o «1-3» \h \z \u HYPERLINK \l «_Toc338589731» Введение PAGEREF _Toc338589731 \h 4

HYPERLINK \l «_Toc338589732» §1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины PAGEREF _Toc338589732 \h 5

HYPERLINK \l «_Toc338589733» §2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения PAGEREF _Toc338589733 \h 5

HYPERLINK \l «_Toc338589734» §3. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины PAGEREF _Toc338589734 \h 6

HYPERLINK \l «_Toc338589735» §4. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины PAGEREF _Toc338589735 \h 7

HYPERLINK \l «_Toc338589736» §5. Числовые характеристики случайных величин PAGEREF _Toc338589736 \h 8

HYPERLINK \l «_Toc338589737» 5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины PAGEREF _Toc338589737 \h 8

HYPERLINK \l «_Toc338589738» 5.2. Мода и медиана PAGEREF _Toc338589738 \h 10

HYPERLINK \l «_Toc338589739» 5.3. Решение задач PAGEREF _Toc338589739 \h 11

HYPERLINK \l «_Toc338589740» 5.4. Задачи для самостоятельного решения PAGEREF _Toc338589740 \h 17

HYPERLINK \l «_Toc338589741» §6. Важнейшие законы распределения случайных величин PAGEREF _Toc338589741 \h 21

HYPERLINK \l «_Toc338589742» 6.1. Биномиальный закон распределения PAGEREF _Toc338589742 \h 21

HYPERLINK \l «_Toc338589743» 6.2. Закон распределения Пуассона PAGEREF _Toc338589743 \h 21

HYPERLINK \l «_Toc338589744» 6.3. Равномерный закон распределения PAGEREF _Toc338589744 \h 22

HYPERLINK \l «_Toc338589745» 6.4. Показательный (экспоненциальный) закон распределения PAGEREF _Toc338589745 \h 23

HYPERLINK \l «_Toc338589746» 6.5. Нормальный закон распределения PAGEREF _Toc338589746 \h 23

HYPERLINK \l «_Toc338589747» 6.6. Решение задач PAGEREF _Toc338589747 \h 25

HYPERLINK \l «_Toc338589748» 6.7. Задачи для самостоятельного решения PAGEREF _Toc338589748 \h 27

HYPERLINK \l «_Toc338589749» Ответы PAGEREF _Toc338589749 \h 31

HYPERLINK \l «_Toc338589750» Приложения PAGEREF _Toc338589750 \h 33

HYPERLINK \l «_Toc338589751» Приложение 1 PAGEREF _Toc338589751 \h 33

HYPERLINK \l «_Toc338589752» Приложение 2 PAGEREF _Toc338589752 \h 34

HYPERLINK \l «_Toc338589753» Литература PAGEREF _Toc338589753 \h 35

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие написано авторами на основе многолетнего опыта преподавания теории вероятностей в общем курсе “Высшая математика” на химическом факультете ННГУ.

Учебно-методическое пособие содержит краткие теоретические сведения, такие как понятие случайной величины, законы распределения случайных величин, функция распределения, числовые характеристики случайных величин, а также важнейшие законы распределения случайных величин.

Пособие включает в себя подробно решенные типовые задачи и достаточно большое количество разнообразных задач с ответами для самостоятельной работы.

Данное учебно-методическое пособие носит учебный характер. Его цель – помочь студентам лучше усвоить общие теоретические положения и развить навыки в их применении при решении конкретных задач.

§1. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины

Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины.

Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта принимает то или иное числовое значение, причем заранее, до опыта, неизвестно, какое именно.

Случайные величины обозначаются заглавными буквами латинского алфавита – EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , …, а принимаемые ими значения — соответствующими малыми буквами EMBED Equation.3 .

Случайная величина, принимающая конечное или счетное множество значений: называется дискретной или прерывной случайной величиной.

Непрерывной случайной величиной называется случайная величина, бесконечное несчетное множество возможных значений которой есть некоторый промежуток (конечный или бесконечный) числовой оси. (Строгое определение непрерывной случайной величины будет дано ниже).

Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

§2. Закон распределения дискретной случайной величины. Многоугольник распределения

Закон распределения может иметь разные формы. Для дискретной случайной величины закон распределения может быть задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины X является таблица (матрица), в которой в порядке возрастания перечислены все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

или EMBED Equation.3 , где EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.

Графическое изображение ряда распределения (см. рис.1) называется многоугольником (или полигоном) распределения.

Рис. 1

§3. Функция распределения случайной величины и ее свойства. Функция распределения дискретной случайной величины

Одним из наиболее удобных и универсальных способов задания закона распределения случайной величины X является функция распределения.

Функцией распределения (или интегральной функцией распределения) случайной величины X называется функция EMBED Equation.3 , которая для любого числа EMBED Equation.3 равна вероятности события, состоящего в том, что случайная величина EMBED Equation.3 примет значение, меньшее, чем EMBED Equation.3 , т. е. EMBED Equation.3 .

Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка X попадет левее данной точки x (рис. 2).

Рис. 2

Функция F(x) существует как для дискретных, так и непрерывных случайных величин.

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1. EMBED Equation.3 ;

2. EMBED Equation.3 — неубывающая функция, т. е. EMBED Equation.3 , если EMBED Equation.3 ;

3. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;

4. EMBED Equation.3 — непрерывна слева в любой точке x, т. е. EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ;

5. EMBED Equation.3 .

Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид:

EMBED Equation.3 ,

где суммирование ведется по всем индексам EMBED Equation.3 , для которых EMBED Equation.3 . Для дискретной случайной величины функция распределения есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева.

§4. Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

С помощью функции распределения можно дать более строгое определение непрерывной случайной величины.

Случайная величина X называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

В отличие от дискретных случайных величин вероятность отдельного значения для непрерывной случайной величины равна нулю: EMBED Equation.3 . Поэтому для непрерывной случайной величины X имеем

EMBED Equation.3 . (*)

Для непрерывных случайных величин кроме функции распределения существует еще один удобный способ задания закона распределения – плотность вероятности.

Пусть функция распределения EMBED Equation.3 данной непрерывной случайной величины X непрерывна и дифференцируема всюду, кроме, может быть, отдельных точек.

Плотностью распределения непрерывной случайной величины X (или плотностью вероятности, или просто плотностью) называется функция EMBED Equation.3 .

Функцию EMBED Equation.3 называют также дифференциальной функцией распределения.

Плотность распределения любой непрерывной случайной величины неотрицательна, т. е. EMBED Equation.3 ; обладает свойством нормированности:

EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

График функции EMBED Equation.3 называется кривой распределения.

Функция распределения F(x) выражается через плотность распределения формулой

EMBED Equation.3 (1)

Вероятность попадания непрерывной случайной величины EMBED Equation.3 в промежуток EMBED Equation.3 определяется равенством:

EMBED Equation.3 . (2)

§5. Числовые характеристики случайных величин

5.1. Математическое ожидание. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение случайной величины

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Однако при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые параметры, выражающие наиболее характерные свойства (черты) закона распределения случайной величины. Такие числа носят название числовых характеристик случайной величины.

Математическим ожиданием (или средним значением) EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 ) дискретной случайной величины X называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности этих значений.

Если дискретная случайная величина X принимает конечное число значений EMBED Equation.3 , то ее математическое ожидание EMBED Equation.3 находится по формуле

EMBED Equation.3 (3)

Если же дискретная случайная величина X принимает бесконечное (счетное) число значений, то

EMBED Equation.3 , (4)

при этом математическое ожидание существует, если ряд в правой части этой формулы абсолютно сходится, т. е. сходится ряд EMBED Equation.3 .

Математическое ожидание непрерывной случайной величины X с плотностью вероятности EMBED Equation.3 , находится по формуле

EMBED Equation.3 , (5)

при этом математическое ожидание существует, если интеграл в правой части равенства абсолютно сходится (это значит, что сходится интеграл EMBED Equation.3 ).

Дисперсией (рассеянием) EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 ) случайной величины EMBED Equation.3 называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

EMBED Equation.3 .

Из определения вытекает часто используемая формула:

EMBED Equation.3 .

Если EMBED Equation.3 — дискретная случайная величина, то ее дисперсия вычисляется по формуле:

EMBED Equation.3 , (т. е. EMBED Equation.3 ) (6)

в случае конечного числа значений, принимаемых случайной величиной X, и по формуле

EMBED Equation.3 , (т. е. EMBED Equation.3 ) (7)

в случае счетного числа значений.

Если X — непрерывная случайная величина с плотностью EMBED Equation.3 , то

EMBED Equation.3 (или EMBED Equation.3 ). (8)

Средним квадратическим отклонением случайной величины EMBED Equation.3 называется величина EMBED Equation.3 .

Среднее квадратическое отклонение есть мера рассеяния значений случайной величины около ее математического ожидания.

5.2. Мода и медиана

Кроме математического ожидания и дисперсии в теории вероятностей применяется еще ряд числовых характеристик, в частности, мода и медиана случайной величины.

Модой EMBED Equation.3 дискретной случайной величины X называется ее наиболее вероятное значение.

Модой непрерывной случайной величины X называется такое ее значение EMBED Equation.3 , при котором плотность распределения EMBED Equation.3 имеет максимум, т. е. EMBED Equation.3 .

На рис. 3 и 4 показана мода для дискретной и непрерывной случайной величины.

Рис. 3 Рис. 4

Если многоугольник распределения (кривая распределения) имеет два или несколько максимумов, то распределение называется двухмодальным или многомодальным.

Иногда встречаются распределения, которые имеют минимум, но не имеют максимум. Такие распределения называются антимодальными.

Медианой непрерывной случайной величины X (обозначение: EMBED Equation.3 ) называется такое ее значение EMBED Equation.3 , для которого одинаково вероятно, окажется ли случайная величина EMBED Equation.3 меньше EMBED Equation.3 или больше EMBED Equation.3 , т. е.

EMBED Equation.3 . (9)

Геометрически вертикальная прямая EMBED Equation.3 , проходящая через точку с абсциссой, равной EMBED Equation.3 , делит площадь фигуры под кривой распределения на две равные части (рис. 5). Каждая из этих площадей равна EMBED Equation.3 , т. к. площадь, ограниченная кривой распределения, равна единице. Поэтому функция распределения в точке EMBED Equation.3 равна EMBED Equation.3 , т. е. EMBED Equation.3 .

Рис. 5

Для дискретной случайной величины медиана обычно не определяется.

5.3. Решение задач

Пример 1. Производится три независимых опыта, в каждом из которых событие A появляется с вероятностью 0,4. Рассматривается случайная величина X – число появлений события A в трех опытах. Построить ряд и многоугольник распределения, функцию распределения случайной величины X. Найти: 1) вероятность событий: A={X<2}; B={ EMBED Equation.3 }; C={ EMBED Equation.3 }; 2) математическое ожидание EMBED Equation.3 , дисперсию EMBED Equation.3 , среднее квадратическое отклонение EMBED Equation.3 случайной величины X.

Решение. Случайная величина X может принимать значения EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 . Соответствующие им вероятности EMBED Equation.3 найдем, воспользовавшись формулой Бернулли. При n=3, EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 имеем: EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 ; EMBED Equation.3 .

Отсюда ряд распределения случайной величины X имеет вид:

(Контроль: EMBED Equation.3 ).

Многоугольник распределения случайной величины X представлен на рис.6.

Рис. 6 Рис. 7

Найдем функцию распределения F(x). По определению функции распределения имеем: если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ;

если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ;

если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ;

если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 ;

если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 .

Итак, EMBED Equation.3

График функции F(x) изображен на рис. 7.

1) Сначала вычислим искомые вероятности непосредственно:

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 .

Эти же вероятности найдем, воспользовавшись формулами:

EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Тогда EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3 ;

EMBED Equation.3

2) Найдем математическое ожидание случайной величины X. Используя формулу (3), получим EMBED Equation.3 . Вычислим дисперсию. По формуле (6) имеем:

EMBED Equation.3 =0,72. Тогда среднее квадратическое отклонение EMBED Equation.3 .

Пример 2. Дан ряд распределения дискретной случайной величины X:

Найти моду.

Решение. Так как дискретная случайная величина X принимает значение EMBED Equation.3 с наибольшей вероятностью EMBED Equation.3 по сравнению с двумя соседними значениями, то мода случайной величины X равна 20, т. е. EMBED Equation.3 .

Пример 3. Дана функция

EMBED Equation.3

Рис. 8

Показать, что EMBED Equation.3 может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины X.. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X.

Решение. Используя свойство нормированности плотности распределения, найдем, что

EMBED Equation.3 ,

кроме того, EMBED Equation.3 . Следовательно, EMBED Equation.3 может служить плотностью вероятности некоторой случайной величины. Так как прямая EMBED Equation.3 является осью симметрии соответствующей дуги кривой EMBED Equation.3 (см. рис.8), то математическое ожидание случайной величины X равно EMBED Equation.3 , т. е. EMBED Equation.3 . Найдем дисперсию, воспользовавшись формулой (8). Двукратным интегрированием по частям получим:

EMBED Equation.3

Пример 4. Дана плотность вероятности случайной величины X;

EMBED Equation.3

Найти функцию распределения F(X), вероятность попадания случайной величины X в промежуток EMBED Equation.3 , числовые характеристики величины X: EMBED Equation.3 .

Решение. Найдем функцию распределения случайной величины X, для этого воспользуется соотношением (1).

Если x < 0, то EMBED Equation.3 .

Если EMBED Equation.3 , то EMBED Equation.3 .

Если x > a, то EMBED Equation.3 .

Итак, EMBED Equation.3

По формуле (*) имеем EMBED Equation.3 .

Найдем математическое ожидание случайной величины X. Согласно формуле (5)

EMBED Equation.3 .

Теперь отыщем дисперсию. По формуле (8)

EMBED Equation.3 Отсюда среднее квадратическое отклонение EMBED Equation.3 .

Пример 5. Найти моду, медиану, математическое ожидание и функцию распределения случайной величины X с плотностью вероятности

EMBED Equation.3



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст