Учебная программа Дисциплины ен. В. 01 «Алгебра и геометрия» по

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского»

Радиофизический факультет

Кафедра математики

УТВЕРЖДАЮ

Декан радиофизического факультета

____________________Якимов А.В.

«27» июня 2012 г.

Учебная программа

Дисциплины ЕН.В.01 «Алгебра и геометрия»

по специальности 090106 «Информационная безопасность телекоммуникационных систем»

Нижний Новгород

2012 г.

1. Область применения

Данная дисциплина относится к дисциплинам по выбору, преподается в 1 и 2 семестрах.

2. Цели и задачи дисциплины

Содержание дисциплины направлено на изучение разделов аналитической геометрии и высшей алгебры, необходимых для понимания других разделов математики и физики.

3. Требования к уровню освоения содержания дисциплины

В результате изучения студенты должны:

знать аппарат векторной алгебры, уравнения прямой и плоскости, кривых и поверхностей 2-го порядка, операции над матрицами, вычисление определителей, решение линейных систем, теорию линейных пространств и операторов, теорию квадратичных форм.

уметь решать задачи из указанных разделов курса.

иметь представление о приложениях разделов курса к решению практических задач.

4.Объем дисциплины и виды учебной работы

Виды учебной работы

Всего часов

Семестры

Общая трудоемкость дисциплины

200

1

2

Аудиторные занятия

85

51

34

Лекции

51

34

17

Практические занятия (ПЗ)

34

17

17

Семинары (С)

0

0

0

Лабораторные работы (ЛР)

0

0

0

Другие виды аудиторных занятий

0

0

0

Самостоятельная работа

115

60

55

Курсовой проект (работа)

0

0

0

Расчетно-графическая работа

0

0

0

Реферат

0

0

0

Другие виды самостоятельной работы

0

0

0

Вид итогового контроля (зачет, экзамен)

экзамен

зачет

экзамен

5. Содержание дисциплины

5.1. Разделы дисциплины и виды занятий

№ п/п

Раздел дисциплины

Лекции

ПЗ (или С)

ЛР

1

Векторная алгебра

10

5

2

Прямая и плоскость

12

6

3

Кривые и поверхности 2-го порядка

12

6

4

Матрицы и определители

4

4

5

Системы линейных уравнений

4

4

6

Линейные пространства

3

3

7

Линейные операторы

3

3

8

Квадратичные формы

3

3

5.2. Содержание разделов дисциплины

1. Векторная алгебра.

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Линейная зависимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы на плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису. Проекция вектора на ось. Ортонормированные базисы, их особенность. Направляющие косинусы вектора. Скалярное, векторное, смешанное и двойное векторное произведения, их свойства, выражение через координаты сомножителей. Условие ортогональности, коллинеарности, компланарности векторов. Система координат, координаты точки, преобразование системы координат.

2. Прямая и плоскость.

Способы задания линий на плоскости, линий и поверхностей в пространстве. Алгебраические линии и поверхности. Прямая на плоскости. Различные формы уравнения прямой: общее, параметрическое, каноническое, с угловым коэффициентом, в отрезках, нормальное. Пучок прямых. Плоскость в пространстве. Различные формы уравнения плоскости: общее, в отрезках, нормальное. Пучок и связка плоскостей. Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой: общее, параметрическое, каноническое. Переход от одного задания к другому. Взаимное расположение двух плоскостей, прямой и плоскости, двух прямых в пространстве. Основные задачи на тему «Прямая и плоскость»: расстояние от точки до плоскости и прямой, расстояние между прямыми, углы между прямыми и плоскостями, условие пересечения двух прямых и т.д.

3. Кривые и поверхности второго порядка.

Эллипс, гипербола, парабола, Определение, вывод канонического уравнения каждой из этих кривых, их свойства. Эксцентриситет и директрисы эллипса, гиперболы, параболы. Полярная система координат. Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы. Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью поворота осей и переноса начала координат. Классификация кривых второго порядка. Поверхности второго порядка: эллипсоид, гиперболоиды, параболоиды, конусы и цилиндры, их канонические уравнения, свойства. Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.

4. Матрицы и определители.

Прямоугольные матрицы. Сумма матриц, произведение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций. Перестановки, инверсии, транспозиции, подстановки. Определитель квадратной матрицы, свойства определителя. Разложение определителя по элементам строки или столбца. Теорема Лапласа. Определитель произведения матриц. Обратная матрица, критерий обратимости, вычисление обратной матрицы.

5. Системы линейных уравнений.

Ранг матрицы. Теорема о базисном миноре. Ранг произведения матриц. Элементарные преобразования строк матрицы и их применение к вычислению ранга матрицы. Системы линейных уравнений. Основные определения: частное и общее решения, совместные и несовместные системы, эквивалентность систем. Теорема Крамера. Критерий совместности систем линейных уравнений (теорема Кронекера — Капелли). Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Линейные однородные системы (ЛОС). Свойства решений. Фундаментальная система решений (ФСР). Теорема о ФСР. Структура общего решения ЛОС. Неоднородные системы (ЛНС). Структура общего решения ЛНС.

6. Линейные пространства.

Аксиоматика линейного векторного пространства (ЛВП), примеры, свойства ЛВП. Линейная зависимость системы векторов в ЛВП. Базис и размерность ЛВП. Координаты вектора в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому, преобразование координат вектора при переходе к новому базису. Подпространство. Сумма и пересечение подпространств. Линейные оболочки и теоремы о размерности. Изоморфизм ЛВП. Евклидово пространство, определение и примеры. Неравенства Коши — Буняковского и треугольника. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом пространстве. Ортогональность и ортонормированность системы векторов. Процесс ортогонализации системы векторов.

7. Линейные операторы в конечномерном линейном пространстве.

Определение линейного оператора. Примеры. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора в данном базисе. Преобразование матрицы оператора при переходе от одного базиса к другому. Действия с линейными операторами. Обратный оператор, его свойства. Критерий обратимости. Подпространства, инвариантные относительно оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства. Характеристическое уравнение. Унитарный и самосопряженный операторы. Свойства собственных значений и векторов самосопряженного оператора. Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора, нахождение его.

8. Квадратичные формы.

Линейная, билинейная и квадратичная формы в ЛВП. Матрица квадратичной формы (КФ) и ее преобразование при переходе к новому базису. Ранг и индекс КФ. Теорема Лагранжа о приведении КФ к диагональному виду. Теорема Якоби. Закон инерции КФ. Критерий Сильвестра положительной определенности КФ.

5.3. План практических занятий

1. Линейные операции над векторами.

2. Скалярное произведение.

3. Векторное произведение.

4. Смешанное и двойное векторное произведения.

5. Векторные операции в координатах.

6. Контрольная работа.

7,8. Прямая в плоскости.

9. Плоскость в пространстве.

10. Прямая и плоскость в пространстве.

11. Контрольная работа.

12. Окружность. Эллипс.

13. Гипербола. Парабола.

14. Касательные к кривым 2-го порядка.

15. Общая теория кривых 2-го порядка.

16. Контрольная работа.

16. Построение областей, заданных поверхностями 2-го порядка.

17,18. Вычисление определителей

19,20. Операции с матрицами. Матричные уравнения

21. Обратная матрица.

22. Ранг матрицы

23. Линейные однородные системы.

24. Линейные неоднородные системы.

25. Линейные системы с параметрами.

26. Контрольная работа

27. Линейные подпространства. Базис, размерность.

28.Сумма и пересечение подпространств.

29. Евклидовы пространства.

30. Собственные числа и вектора

31. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методами Лагранжа и Якоби.

32. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием

33. Приведение уравнения поверхности 2-го порядка к каноническому виду

34. Контрольная работа

6. Лабораторный практикум.

Не предусмотрен.

7. Учебно-методическое обеспечение дисциплины

7.1. Рекомендуемая литература.

а) основная литература:

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Аналитическая геометрия », М, Наука, 1988.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. «Линейная алгебра », М, Наука, 1984.

3. Беклемишев Д.В. «Курс аналитической геометрии и линейной алгебры», М, Высшая школа, 1998.

4. Курош А.Г. «Высшая алгебра», М, Наука, 1975.

5. Цубербиллер О.Н. «Задачи и упражнения по аналитической геометрии», М, Наука, 1970.

6. Фаддеев Д.К., Соминский И.С. «Сборник задач по высшей алгебре», М, Наука, 1977.

б) дополнительная литература:

1. Ильин В.А.,Ким Г.Д. «Линейная алгебра и аналитическая геометрия», М, МГУ, 2007.

2. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. « Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре», М, Наука, 1987.

8. Вопросы для контроля

Понятие вектора. Линейные операции над векторами.

Линейная зависимость системы векторов. Геометрический смысл линейной зависимости. Базисы на плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису.

Проекция вектора на ось. Скалярное произведение, определение и свойства.

Ориентация тройки векторов. Векторное произведение, определение и свойства.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст