Целая и дробная части числа

Министерство образования Российской Федерации

МОУ »СОШ №38»

Реферат

Целая и дробная части числа

Выполнил: Остащенко О. Г.

г. Братск, 10 класс, МОУ »СОШ №38»

Научный руководитель: Попугаева Г. Н.

г. Братск 2005г.

Содержание

Введение

Основная часть

Определение целой части числа—————————————-стр. 1

Решение уравнений, содержащих целую часть числа—————стр. 1-2

Определение дробной части числа————————————-стр. 3

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа ———-стр. 3-4

Решение неравенства, содержащего целую и дробную части числа-стр. 5

Функция у=[x], ее свойства и график———————————-стр. 6-7

Функция у={x}, ее свойства и график———————————стр. 8

Преобразование графиков в системе координат ———————стр. 9-10

Графики, содержащие целую и дробную части——————— стр. 11-12

Графическое решение уравнений, содержащих целую и дробную части числа—————————————————————————стр. 13

Заключение

Список литературы

Аннотация

В данной работе даются определения таких понятий, как »дробная» и »целая» части числа, решения задач на данную тему, не входящую в программу для общеобразовательных школ, но предлагаемых на вступительных экзаменах по математике и олимпиадах.

Введение

Участвуя в олимпиадах по математике, я столкнулся с трудностями при использовании таких понятий, как »целая» и »дробная» части числа, эти понятия представляют наибольшую сложность, как в логическом, так и в техническом плане. Так как данной темы нет в программе для общеобразовательных школ, то я поставил перед собой следующие цели:

познакомиться с понятиями »целая» и »дробная» части числа

уметь применять эти понятия при решении уравнений и неравенств

рассмотреть функции вида: y=[x] и y={x} их графики и свойства

Целая часть числа- 1 —

Целой частью числа x называется наибольшее целое число n, не превышающее x. Целая часть числа x обозначается символом [x] или (реже) E(x) (от фр. entier «антье» — целый).

Примеры: [2,6] = 2; [- 2,6] = -3.

Свойство целой части числа:

Если x принадлежит интервалу [n; n +1), где n — целое число, то [x]=n, т.е. x находится в интервале [ [x]; [x]+1). Значит [x]  EMBED Equation.3  x < [x] + 1.

Решение уравнений, содержащих целую часть числа

EMBED Equation.3

— 2 —

EMBED Equation.3

Решение системы неравенств:

EMBED Equation.3

-1 0 1 4 5 6

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3       EMBED Equation.3

Дробная часть числа- 3 —

Дробной частью числа называют разность между самим числом x и его целой частью.

EMBED Equation.3

Примеры: {2,81} = 0, 81; {-0,2} = 0,8

Свойство дробной части числа:

Дробная часть числа всегда неотрицательна и не превышает 1, т.е. EMBED Equation.3

Решение уравнений, содержащих дробную часть числа

EMBED Equation.3

— 4 —

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

— 5 —

Решение неравенства, содержащего дробную и целую части числа

EMBED Equation.3

— 6 —

Функция y=[x], ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения HYPERLINK «http://kus-lin.narod.ru/4.htm» целой части числа и свойств числовых множеств. Следовательно, ее областью определения является все множество действительных чисел:

D([x]) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная, т.е. не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция y = [x] не периодическая.

4. Множество значений функции y = [x], это множество целых чисел (по определению целой части числа)

E ([x]) = Z

5. Функция неограничена, так как множество значений функции — все целые числа, множество целых чисел неограничено.

6. Функция разрывная. Все целые значения x — точки разрыва первого рода с конечным скачком равным 1. В каждой точке разрыва имеется непрерывность справа.

7. Функция принимает значение 0 для всех x, принадлежащих интервалу [0;1), что следует из определения целой части числа. Следовательно, нулями функции будут все значения этого интервала.

8. Учитывая свойства целой части числа функция y = [x] принимает отрицательные значения при x меньших нуля, и положительные значения при x больших 1.

9. Функция y = [x] кусочно — постоянная и неубывающая.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Так как функция y = [x] постоянна на каждом интервале [n ; n+1), она не принимает наибольшего и наименьшего значений на области определения.

— 7 —

12. График функции.

— 8 —

Функция y={x}, ее свойства и график

1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения HYPERLINK «http://kus-lin.narod.ru/4.htm» дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа:

D({x}) = R.

2. Функция ни четная, ни нечетная, не выполняется ни условие четности ( f (-x) = f (x) ), ни условие нечетности ( f (-x) = — f (x) ).

3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1.

4. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0 ; 1), что следует из определения HYPERLINK «http://kus-lin.narod.ru/4.htm» дробной части числа, т.е.

E({x}) = [0 ; 1).

5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена.

6. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n ; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1.

7. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. То есть нулями функции будут все целочисленные значения аргумента.

8. Функция y = {x} на всей области определения принимает только положительные значения.

9. Функция, строго монотонно возрастающая на каждом интервале [n; n+1), где n — целое число.

10. Точек экстремума функция не имеет, так как не меняет характер монотонности.

11. Учитывая свойства 6 и 9, на каждом интервале [n; n+1) функция y = {x} принимает минимальное значение в точке n.

12. График функции.

— 9 —

Преобразование графиков в системе координат

y = [2x]

сжатие

вдоль оси OX в 2 раза

y = {2x}

сжатие

вдоль оси OX в 2 раза

— 10 —

y = 2[x]

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

y = 2{x}

растяжение

вдоль оси OY в 2 раза

— 11 —

Изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

— 12 –

Построить график функции

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

— 13 —

Графическое решение уравнений содержащих целую и дробную части числа

1 – x = {x}

y EMBED Equation.3 =1-x

y EMBED Equation.3 ={x}

Ответ:

[x] = 2{x}.

y EMBED Equation.3 =[x]

y EMBED Equation.3 =2{x}

Ответ:

0,5[x] =

y EMBED Equation.3 =

y EMBED Equation.3 =0,5[x]

Ответ: Решений нет.

Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что данный материал можно использовать на факультативах, элективных уроках, при подготовке к олимпиадам и вступительным экзаменам в ВУЗ.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст