Характеристические граничные задачи для линейных уравнений высок

На правах рукописи

Уткина Елена Анатольевна

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА СО СТАРШИМИ ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

01.01.02 – дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

доктора физико-математических наук

Казань − 2011

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”

Научный консультант: доктор физико-математических наук,

профессор

Жегалов Валентин Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Кожанов Александр Иванович

доктор физико-математических наук,

профессор

Логинов Борис Владимирович

доктор физико-математических наук,

профессор

Пулькина Людмила Степановна

Ведущая организация: ГОУ ВПО “Московский государственный

университет им.М.В.Ломоносова”

Защита состоится «22» сентября 2011 г. в 14 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 212.081.10 при ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, ауд.337.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им. Н.И.Лобачевского ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет” по адресу: 420008, г.Казань, ул. Кремлевская, 18.

Автореферат разослан «___» __________2011 г. и размещен на официальном сайте ФГАОУВПО “Казанский (Приволжский) федеральный университет”: HYPERLINK «http://www.ksu.ru» www.ksu.ru

Ученый секретарь совета Д 212.081.10

к.ф.-м.н., доцентЛипачев Е.К.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Объектом исследования в предлагаемой диссертации являются уравнения вида

EMBED Equation.3, (1)

где EMBED Equation.3 — декартовы координаты точки x, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 — целые неотрицательные числа, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 — искомая, а EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 — известные функции.

При EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 данное уравнение вошло в математическую литературу под именем Л.Бианки, который одновременно с О.Никколетти еще в 1895г. рассматривал его как многомерный аналог хорошо известного в математической физике уравнения

EMBED Equation.3 .(2)

Исследование более сложных уравнений (1) в случаях кратного дифференцирования искомой функции по независимым переменным представляет собой естественный дальнейший этап на пути теоретических обобщений. Ценность получаемых при этом теоретических результатов существенно возрастает в связи с тем, что подобные уравнения встречаются в приложениях. А именно, частные случаи (1) возникают при моделировании процессов вибрации и играют существенную роль в теории аппроксимации, теории отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Такие уравнения встречаются в теории упругости, при изучении фильтрации жидкости в трещиноватых породах, влагопереноса в почвогрунтах, передачи тепла в гетерогенных средах, моделировании различных биологических процессов и явлений, при изучении распространения волн в диспергирующих средах, а также в теории оптимальных процессов и обратных задачах (см. библиографические ссылки в конце статьи).

Среди этих уравнений наиболее известными являются указанное И.Н.Векуа уравнение изгиба тонкой сферической оболочки

EMBED Equation.3 ,(3)

а также уравнения Аллера и Буссинеска – Лява

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

Первое из них описывает процесс переноса почвенной влаги в зоне аэрации, а второе встречается при изучении продольных волн в тонком упругом стержне с учетом эффектов поперечной инерции и еще описывает волновой процесс в периодических слоистых средах. К виду (1) относятся и поливибрационные уравнения Д.Манжерона.

Таким образом, актуальность построения общей теории уравнений вида (1) обусловлена как логикой развития теоретических исследований, так и востребованностью обсуждаемых уравнений в приложениях.

Степень разработанности проблемы.

После L.Bianci и O.Niccoletti различные вопросы, связанные с уравнениями вида (1) изучали за рубежом H.Bateman, E.Lahaye, H.Hornich, D.Mangeron, M.Ogustoreli, D.Colton, S.Easwaran, V.Radochova, A.Corduneany, W.Rundell, M.Stecher и др. В нашей стране интерес к общему уравнению вида (1) при n=2 возник в связи с задачами теории упругости. Статьи Н.И.Мусхелишвили (1919г.) и И.Н.Векуа (1937г.) положили начало целому направлению исследований в данной области, развивавшемуся в течение ряда десятилетий до работ А.П.Солдатова, М.Х.Шханукова, О.М.Джохадзе и др.(1987 — 1996). При n>2 публикаций на русском языке, посвященных уравнениям вида (1) было сравнительно немного: М.К.Фаге (с 1956г.), В.И.Жегалов с учениками (с 1990г.), В.Ф.Волкодавов с учениками (с 1993г.).

Практически все вышеуказанные авторы, начиная с Л.Бианки развивали в своих исследованиях метод, предложенный в свое время Б.Риманом для уравнения (2), отправляясь от его классического варианта и внося в него те или иные изменения и дополнения. Так, М.К.Фаге, отмечая, что «…Бианки и Никколетти разработали лишь формальную часть теории, не вдаваясь в аналитические детали…» представил вариант метода Римана, более соответствующий современному уровню развития математики. Здесь же обращает на себя внимание некоторая самооценка автора: «… изучение сопровождается довольно сложными выкладками» (с.281). В названии же работы, вслед за Г.Бейтменом (1933г.) он использует термин «уравнение Бианки». В некоторых работах уравнения (1) назывались псевдопараболическими (первым такое название использовал Д.Колтон (1972г.)).

Еще одно видоизменение метода Римана было предложено И.Н.Векуа и А.В.Бицадзе: при решении основной характеристической задачи (Гурса) еще для уравнения (2) они вместо основного дифференциального тождества Римана использовали соотношение

EMBED Equation.3 .(4)

В варианте метода Римана, предложенном для уравнения Бианки В.И.Жегаловым при n=3 (1990г.) и распространенном им совместно с В.А.Севастьяновым (1996,1997) на случай любого числа измерений n, были построены аналоги тождества (4). При этом было введено еще одно изменение: функция Римана определялась не как решение сопряженного уравнения, удовлетворяющее граничным условиям, число которых очень быстро увеличивается с ростом n, а как решение некоторого интегрального уравнения. Все это позволило получить существенно более прозрачную и лаконичную схему решения задач Гурса и Коши для уравнения Бианки, чем в работах предшественников. К тому же появились дополнительные возможности построения функций Римана в явном виде путем непосредственного решения интегральных уравнений.

Наконец, В.И.Жегаловым и А.Н.Мироновым для уравнения Бианки были исследованы кроме задачи Гурса и другие характеристические задачи, получаемые заменой граничных значений искомой функции значениями нормальной производной от этой функции. Первым автором в 1992г. было выяснено, что для уравнения (2) такие задачи являются содержательными только в случаях, когда хотя бы один из коэффициентов a, b, c не равен тождественно нулю, а их разрешимость приобретает в этих случаях вариантный характер. Вместе со вторым автором эти результаты в 2000г. были распространены на трехмерный аналог уравнения (2). Затем А.Н.Миронов обобщил их на случай уравнений с EMBED Equation.3 .

В связи с вышеизложенным естественно возникла идея обобщения указанных результатов В.И.Жегалова, В.А.Севастьянова и А.Н.Миронова на уравнения (1) с кратным дифференцированием по независимым переменным при EMBED Equation.3 . Далее, так как (1) есть обобщение (2), целесообразным представлялось развитие других аспектов исследования (2) с целью применения соответствующих результатов к уравнению (1): изучение нелокальных задач, задачи типа Дирихле, разработка каскадного метода.

Цели диссертационной работы:

1. Вывод основного дифференциального тождества и отыскание решения задачи Гурса для общего случая уравнения (1).

2. Изучение задач для уравнения (1), получаемых из задачи Гурса путем повышения порядка нормальных производных в граничных условиях.

3. Отыскание вариантов корректно поставленных задач типа Дирихле для уравнений вида (1).

4. Постановка и исследование новых многомерных задач с нелокальными граничными условиями.

5. Выделение из класса уравнений вида (1) аналогов уравнения Эйлера-Пуассона-Дарбу, разрешимых в явном виде с последующим решением для них граничных задач.

Методика исследования. Основным моментом является развитие метода Римана с целью его применения к общему уравнению (1), при этом пришлось комбинировать аналитический подход с компьютерным. Используются и другие методы из теории уравнений с частными производными: каскадного интегрирования и априорных оценок. Применяются результаты из теории интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. Стержневую роль играет вывод формулы решения задачи Гурса для общего уравнения (1): эта формула используется в качестве общего представления решений, позволяя при определенных (получаемых в диссертации) условиях редуцировать все задачи из второй и третьей глав к задаче Гурса. Новизна содержится и в развиваемых здесь методах Римана и Лапласа: область их применения существенно расширяется. Новой является качественная картина разрешимости рассматриваемых задач, а также выделяемые в работе случаи разрешимости в квадратурах.

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер, заполняя определенный пробел в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Автору представляется, что имеются возможности использования полученных результатов в качестве основы для дальнейших исследований. Не исключена возможность практических приложений.

Апробация работы. Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинарах кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета, часть была доложена на итоговых ежегодных научных конференциях КГУ за период с 1997 по 2010. Также был сделан доклад в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2002г.

Обзорные доклады по диссертации были сделаны:

в Институте математики им.С.Л.Соболева РАН в Новосибирске на семинарах по неклассическим уравнениям математической физики (руководитель проф. А.И.Кожанов) и по качественной теории дифференциальных уравнений (руководитель проф.В.С.Белоносов), 2004г.;

на семинаре кафедры математического анализа Белгородского государственного университета (руководитель проф.А.П.Солдатов), 2005г.;

в МГУ на семинаре акад. Е.И.Моисеева, 2011г.;

в РУДН на семинаре по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям (руководитель проф.А.Л.Скубачевский), 2011г.

Результаты работы докладывались также на различных научных конференциях, в том числе, международных. Например:

Третьем сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (biprim –98), посвященном памяти С.Л. Соболева (Новосибирск, 1998);

Международной научной конференции, посвященной 70-летию акад. В.А. Ильина (Стерлитамак,1998);

Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000);

Международной конференции AMADE (Минск, Беларусь, 2003);

III международной конференции «Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики»(Нальчик, 2006);

Международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию акад. В.А.Садовничего (Москва, 2009).

Названия других конференций указаны в списке литературы [25]-[29], [31], [33], [38]-[42], [44]- [46], [48]- [49], [51]- [54], [56]-[57], [59]- [61].

Публикации. По теме диссертации опубликовано 62 работы, в том числе 24 статьи — в журналах, определенных Высшей аттестационной комиссией (ВАК) Министерства образования и науки Российской Федерации для публикации результатов научных исследований. Из общего числа 9 выполнены в соавторстве с научным руководителем кандидатской диссертации, которому здесь принадлежат постановки задач и общие идеи о возможных путях их решения.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, списка литературы из 206 наименований и занимает 263 страниц машинописного текста.

Нумерация параграфов производится одним символом, а нумерация пунктов и подпунктов – двумя и тремя соответственно. Нумерация параграфов, пунктов и подпунктов, а также формул в каждой главе своя.

Краткое содержание работы

Во введении проведено обоснование темы диссертации и дан обзор работ, имеющих отношение к этой теме, а также кратко охарактеризованы результаты автора, изложенные в последующих главах.

В первой главе «Задача Гурса» наибольших усилий потребовал вывод тождества, играющего роль (4).

Проблема состояла в том, что закономерность построения упомянутого тождества, обнаруженная В.И.Жегаловым и В.А.Севастьяновым в процессе их работы с уравнением Бианки, здесь не действовала. Для установления нужной закономерности рассматривались сначала частные случаи при малых значениях EMBED Equation.3 . Наиболее изученным предшественниками было обобщение уравнения Аллера

EMBED Equation.3 ,(5)

для которого функция Римана EMBED Equation.3 определялась как решение задачи Гурса с помощью некоторой задачи Коши. Такой способ обеспечивает существование функции R, но вопрос о ее явном построении остается открытым.Наша работа тоже началась с уравнения (5). Функция Римана при этом вводилась как решение интегрального уравнения

EMBED Equation.3 (6)

EMBED Equation.3

а искомое тождество было получено в форме

EMBED Equation.3 (7)

Затем рассматривались более сложные, чем (5), уравнения со старшими частными производными EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и т.д. При этом была выделена некая «главная» часть (которая строилась по тому же принципу, что и в случае уравнения Бианки, и присутствовала при каждом построении) и «остаток», который вычислялся каждый раз путем вычитания левой и «главной» части тождества. Долгое время не удавалось спрогнозировать общий вид этого «остатка». Излагать подробно всю историю вопроса в диссертации представлялось нецелесообразным, поэтому был избран способ изложения, являющийся по мнению автора более простым для восприятия: сначала берется случай, когда в уравнение входит производная лишь по одной из переменных, а потом уже производятся усложнения, которые более или менее естественным образом приводят к общему случаю.

Задача Гурса (общая постановка): найти в D EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 решение уравнения (1) из класса

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, удовлетворяющее условиям

EMBED Equation.3, (8)

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3,

причем граничные значения из (8) на ребрах D согласуются, а сами согласованные значения непрерывно дифференцируемы.

Здесь EMBED Equation.3- класс непрерывных в EMBED Equation.3 вместе с их производными EMBED Equation.3(EMBED Equation.3, EMBED Equation.3,…EMBED Equation.3), функций.

В §1 главы 1 рассматривается уравнение (1) с дифференцированием лишь по первой переменной. Задача Гурса в данном случае переходит в задачу Коши, формулируемую следующим образом.

Найти решение уравнения

EMBED Equation.3

при выполнении условий

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Аналог тождества (7) в данном случае имеет вид

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3, если EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 в остальных случаях; EMBED Equation.3 — биномиальные коэффициенты. Решение задачи Гурса строится путем интегрирования указанного тождества, но для этого последнее слагаемое в нем требует преобразования в другую форму, причем установление этой формы представляло главную трудность. При малых m удалось прийти к ней аналитическим путем и спрогнозировать ее вид в общем случае. Затем к доказательству указанной гипотетической формулы был применен компьютерный метод. К сожалению, компьютерная составляющая ведет к накоплению погрешности при вычислениях, поэтому окончательную формулу решения задачи Гурса можно считать доказанной с точностью до EMBED Equation.3 при m=40.

§2 и 3 посвящены изучению уравнения (1) при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 соответственно.

В §4 упомянутая схема рассуждений реализована уже для общего случая рассматриваемого уравнения (1). Для компактности записи применяются мультииндексы.

Вывод указанной формулы может быть истолкован как доказательство существования решения. Но мы приводим и независимое доказательство существования и единственности решения. В процессе этого доказательства выведена вспомогательная формула, которую можно считать интегральным аналогом формулы Лейбница, связанной с дифференцированием произведения. Таково содержание первой главы.

Полученная формула решения задачи Гурса служит основой для глав II-III, где она применяется в качестве общего представления решений уравнения (1).

Если в задаче Гурса заменить хотя бы одно из граничных значений EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 для некоторого EMBED Equation.3 , то получится новая задача. Такие задачи с повышением порядка нормальных производных являются предметом изучения во второй главе «Повышение порядка нормальных производных в граничных условиях».

В случае, когда наивысший порядок нормальной производной на границе увеличивается на единицу, такие задачи для уравнения (1) мы обозначаем как EMBED Equation.3 .

В §1 этой главы рассматриваются задачи типа EMBED Equation.3 для уравнения (1) (при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и общий случай). Изучение начинается со случаев, когда заменяется одно условие только на одной характеристике. Выяснено, что тогда соответствующие значения Гурса определяются единственным образом. Приведем одну из постановок указанных задач.

Задача 2.1.1. Найти функцию EMBED Equation.3EMBED Equation.3 EMBED Equation.3EMBED Equation.3, являющуюся в D решением уравнения (1) (при EMBED Equation.3 ), удовлетворяющую условиям

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3.

Редукция задачи 2.1.1 к задаче Гурса состоит в отыскании функции EMBED Equation.3. Для ее определения было выведено интегральное уравнение Вольтерра. Выяснено, что характер его разрешимости зависит от групп условий:

1) EMBED Equation.3. Функция EMBED Equation.3 записывается через резольвенту уравнения. Запись EMBED Equation.3 в явном виде обеспечивается любым из наборов условий:

1) EMBED Equation.3 и

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, EMBED Equation.3;

2)EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, EMBED Equation.3;

3)EMBED Equation.3 и

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, EMBED Equation.3;

4)EMBED Equation.3,EMBED Equation.3EMBED Equation.3, EMBED Equation.3,

причем остальные коэффициенты EMBED Equation.3в каждом случае считаем нулевыми.

Здесь

EMBED Equation.3

Подобные задачи (2.1.1, 2.1.4, 2.1.5) рассматриваются в п.п.1.1,1.2.

В п.1.3 рассматриваются задачи, когда условия Гурса заменены на парах характеристик. Здесь приходится исследовать на разрешимость уже два интегральных уравнения, а сама картина разрешимости приобретает более разветвленный характер. Например, если EMBED Equation.3, то функции EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 зависят от одной произвольной функции EMBED Equation.3. Если же коэффициент EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 определяются однозначно. В каждой из задач 2.1.6 и 2.1.7 выделено по 25 вариантов. Поэтому для компактной записи результата в рассмотрение были введены специальные матрицы-строки, элементами которых являются блоки из условий на коэффициенты, обеспечивающие тот или иной характер разрешимости соответствующих задач.

В п.1.4 рассмотрена одна из задач, когда заменены данные Гурса уже на всех трех характеристиках.

В п.1.5 рассуждения распространены на (1) в четырехмерном пространстве.

В п.1.6 рассматриваются задачи EMBED Equation.3 для общего уравнения (1).

Дальнейшим этапом развития задач Гурса после EMBED Equation.3 являются задачи EMBED Equation.3 , когда граничные условия заменяются на нормальные производные, порядок которых повышается уже на EMBED Equation.3 по сравнению с максимальным порядком производной в задаче Гурса на заданной характеристике (он равен порядку уравнения по соответствующей переменной, уменьшенному на единицу).

В §2 той же главы с помощью обсуждаемого подхода рассматриваются задачи EMBED Equation.3 . Считаем порядок производной N превышающим наивысший порядок граничного условия из задачи Гурса на данной характеристике больше чем на единицу. Рассуждения ведутся сразу для общего уравнения (1). Доказан следующий результат о достаточных условиях редукции к задаче Гурса.

Теорема 2.2.1. Если коэффициенты уравнения (1) принадлежат классу EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 и, кроме того, коэффициент при EMBED Equation.3 в левой части

EMBED Equation.3

отличен от нуля, то задача 2.2.1 редуцируется к задаче Гурса.

Здесь EMBED Equation.3 может принимать значения 0,…,EMBED Equation.3. Если EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3

Только что изложенные результаты вывели теорию общего уравнения (1) примерно на тот же уровень, на котором находилась теория уравнения Бианки.

С другой стороны, как уже отмечалось выше, и для уравнения Бианки, и, тем более, для общего уравнения (1) оставались неисследованными многие вопросы. Например, задачи типа Дирихле, задачи со смещением в граничных условиях и др. Указанным вопросам посвящены последующие главы данной диссертации. Их, вместе с результатами главы II, можно рассматривать как области приложения результатов главы I.

В третьей главе «Задача Дирихле и нелокальные задачи» сначала рассматривается первая из указанных задач для уравнений

EMBED Equation.3(9)

и

EMBED Equation.3

В обоих случаях применяется одинаковый подход, поэтому поясним подробнее идею этого подхода только на примере уравнения (9).

Задача 3.1. В области EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , найти функцию EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , являющуюся в D решением уравнения (9) и удовлетворяющую условиям

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

Для нахождения решения были получены уравнения Фредгольма, которым удовлетворяют недостающие данные Гурса EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 . После этого методом априорных оценок выведены условия на коэффициенты (9), которые обеспечивают однозначную разрешимость этих уравнений. Результатом проведенных рассуждений является

Теорема 3.1. Если коэффициенты уравнения (9) удовлетворяют неравенствам

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,

то задача Дирихле имеет единственное решение.

Здесь EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

Из нелокальных задач мы рассматриваем варианты, связанные с отысканием решений по соотношениям, связывающим значения искомой функции в различных переменных точках, лежащих на границе и внутри рассматриваемой области (задачи со смещениями). Второй параграф третьей главы посвящен изучению таких задач для уравнений с некратным и кратным дифференцированием. А именно, первоначально рассматриваются задачи для двух плоских уравнений с кратным дифференцированием – (5) и (9). Затем – задачи для уравнения Бианки в пространствах EMBED Equation.3 . Результат исследования каждой задачи сформулирован в виде теоремы. Остановимся сначала на одной из упомянутых задач для n=2, сделав предварительно пояснения.

Обозначим точки, лежащие на границе и внутри области EMBED Equation.3 EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Точки, получаемые из EMBED Equation.3 заменой EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 обозначим соответственно через EMBED Equation.3.

Задача 3.3. Требуется найти функцию EMBED Equation.3, являющуюся в D решением уравнения (5) и удовлетворяющую следующим трем условиям

EMBED Equation.3EMBED Equation.3EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

При этом на отрезках своего определенияEMBED Equation.3.

Доказана

Теорема 3.3. Задача 3.3 при выполнении условий

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3

однозначно разрешима.

Задача для уравнения Бианки в случае EMBED Equation.3 формулируется как

Задача 3.5. Найти функцию EMBED Equation.3, являющуюся в области EMBED Equation.3 решением упомянутого уравнения и удовлетворяющую условиям

EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 )

EMBED Equation.3 — перестановка чисел 1, 2, 3, EMBED Equation.3 ,EMBED Equation.3 на соответствующих гранях EMBED Equation.3.

Результатом проведенных рассуждений является

Теорема 3.5. Задача 3.5 при заданных условиях и неравенстве нулю определителя соответствующей матрицы имеет единственное решение.

Все предыдущие задачи рассматривались в характеристическом параллелепипеде, а коэффициенты уравнения были достаточно гладкими, чтобы обеспечить существование функции Римана, в терминах которой в конечном счете записывались решения задач. Однако для (2) известен еще каскадный метод Лапласа, иногда позволяющий записывать в квадратурах представления решений уравнений, коэффициенты которых имеют особенности. Примером здесь может служить хорошо известное в математической физике уравнение Эйлера-Пуассона-Дарбу (ЭПД)

EMBED Equation.3.

В связи с этим возникла идея: попытаться выделить из (1) с сингулярными коэффициентами такие случаи, которые с точки зрения метода Лапласа можно было бы рассматривать как аналоги уравнения ЭПД. Реализации этой идеи посвящена четвертая глава «Уравнения с сингулярными коэффициентами». Были построены следующие аналоги уравнения ЭПД.

1)В случае уравнения типа Аллера (со старшей производной EMBED Equation.3 ):

EMBED Equation.3.(10)

2) Для общего уравнения (1) на плоскости:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

3) В n – мерном пространстве

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

где

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3(EMBED Equation.3),

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, (EMBED Equation.3),



Страницы: 1 | 2 | Весь текст