Фундаментальные решения для анизотропной среды и их приложения 0

На правах рукописи

КОЛОСОВА Елена Михайловна

ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШЕНИЯ

ДЛЯ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЫ

И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.02.04 – механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Ростов-на-Дону — 2007

Работа выполнена на кафедре теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук Южного федерального университета.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор Ватульян Александр Ованесович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор Селезнев Михаил Георгиевич

доктор физико-математических наук,

профессор Ляпин Александр Александрович

Ведущая организация

Институт проблем механики РАН, г. Москва

Защита диссертации состоится «6» ноября 2007 г. в 18 часов на заседании диссертационного совета Д 212.208.06 по физико-математическим наукам в Южном федеральном университете по адресу: 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова 8а, ЮФУ, факультет математики, механики и компьютерных наук, ауд. 211.

С диссертацией можно ознакомиться в Зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: г. Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская, 148.

Автореферат разослан «4» октября 2007 г.

Учёный секретарь 

диссертационного совета

Боев Н.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Задачи об оценке напряженно-деформированного состояния упругих анизотропных тел при установившихся колебаниях представляют собой важную задачу механики деформируемого твердого тела. Учет анизотропии продиктован физическими свойствами сталей, композитов, кристаллов, биологических тканей, грунтов и горных пород. Среди современных вычислительных технологий, позволяющих анализировать подобные задачи, отметим методы конечных и граничных элементов.

Среди современных методов численного анализа методу граничных элементов МГЭ (или BEM в зарубежной литературе) принадлежит особое место. Благодаря своим достаточно простым математическим формулировкам и очевидному физическому содержанию МГЭ является эффективным и очень распространенным методом решения различных задач математической физики, механики сплошной среды, важной особенностью которого по сравнению с методом конечных элементов является снижение размерности задач на единицу. В исторической основе этого метода лежит классическая теория потенциала, позволяющая сводить решение задачи к решению граничных интегральных уравнений и систем меньшей размерности. Дальнейшая процедура дискретизации этих интегральных уравнений при помощи разбиения границы на элементы, последующая аппроксимация неизвестных функций на элементе и выполнение уравнений в наборе точек приводит к хорошо обусловленным системам линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных.

Ключевым моментом при практической реализации классического метода граничных интегральных уравнений (ГИУ) является построение фундаментальных решений. Однако, в случае установившихся колебаний для сред, не обладающими свойством сферической симметрии (анизотропия различного типа), возможно их построение в виде многомерных интегралов Фурье, однако в явном виде через элементарные и специальные функции их получить не удается, что в значительной степени снижает эффективность применения метода ГЭ, поскольку процедура дискретизации требует вычисления кратных интегралов.

Таким образом, дальнейшее развитие метода граничных элементов и вычислительных технологий на их основе применительно к анизотропным средам требует построения интегральных представлений фундаментальных решений для анизотропной среды, корректного сведения краевых задач теории упругости о колебаниях анизотропных тел к системам интегральных уравнений, построению эффективных вычислительных схем на основе гранично-элементных аппроксимаций, которые бы позволили анализировать новые задачи, в том числе и о концентрации напряжений около отверстий.

Цель работы состоит в построении и исследовании нового представления фундаментальных решений для анизотропной среды в случае установившихся колебаний (в плоском случае), которое удобно при численном анализе, в корректной формулировке систем ГИУ, развитии МГЭ и их применении при решении конкретных задач об установившихся колебаниях анизотропной среды, в частности, для бесконечной плоскости с полостью.

Методика исследований основывается на сведении поставленных задач к граничным интегральным уравнениям на основании теоремы взаимности и новом представлении фундаментальных решений для ортотропных и неортотропных материалов, на сведении ГИУ к системам линейных алгебраических уравнений, при формировании матриц которых требуется вычислять лишь однократные интегралы.

Достоверность результатов работы основана на строгом аппарате математической теории упругости, на корректном сведении задач об установившихся колебаниях анизотропной среды с полостью к системам граничных интегральных уравнений, на разработке техники разрывных ГЭ, сравнением результатов, полученных в работе, с известными частными случаями.

Научная новизна работы определяется построением и исследованием нового представления фундаментальных решений в случае установившихся колебаний анизотропной среды (в плоском случае), разработке эффективной вычислительной схемы решения задач на основе гранично-элементных аппроксимаций специального вида.

Практическая ценность результатов исследования состоит в разработке методов решения задач о колебаниях анизотропных упругих тел при наличии полостей произвольной формы.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VII, VIII, IX и X Международных конференциях «Современные проблемы механики сплошной среды» (Ростов-на-Дону, 2001, 2002, 2005, 2006 гг.), на VI Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии» (Кисловодск, 2004 г.), на III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы механики деформируемого твердого тела» (Донецк, 2005 г.), на семинарах кафедры теории упругости факультета математики, механики и компьютерных наук ЮФУ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, в том числе 1 статья [6] в журнале «Прикладная механика и техническая физика», рекомендованном ВАК РФ для опубликования основных научных результатов диссертации. Список публикаций приводится в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы из 179 наименований, приложения из 17 рисунков и 1 таблицы общим объемом 136 страниц машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обзор литературы по методу граничных элементов и краткую аннотацию всех глав диссертации.

Отметим, что технология МГЭ в своей основе опирается на метод граничных интегральных уравнений и восходит к классическим работам И. Фредгольма для краевых задач для уравнения Лапласа и В.Д. Купрадзе для уравнений теории упругости. Возможности численной реализации систем ГИУ существенно расширились в современное время благодаря идеям конечномерных аппроксимаций. Современная библиография МГЭ обширна. Опубликованы многочисленные научные и специальные работы, учебники и монографии, в которых изложены теоретические основы метода и различные аспекты его применения. Среди многих монографий, посвященных различным аспектам метода граничных элементов, отметим работы Т. Крузе и Ф. Риццо, П. Бенерджи и Р. Баттерфилда, К. Бреббия, Ж. Теллеса и Л. Вроубела, А.Г. Угодчикова и Н.М. Хуторянского, В.З. Партона и П.И. Перлина, Trevor G. Davies and Xiao-Wei Gao, Federico Paris and José Cañas, Prem K. Kythe.

Построению фундаментальных решений в динамической теории упругости и их исследованию посвящены работы М.А. Алексидзе, В.А. Бабешко, М.О. Башелейшвили, А.В. Белоконя, Т.В. Бурчуладзе, А.О. Ватульяна, Т.Г. Гегелиа, П.С. Диневой, А.В. Капцова, С.В. Кузнецова, В.Д. Купрадзе, А.А. Ляпина, А.В. Наседкина, Д.Г. Натрошвили, Т.В. Рангелова, В.И. Сторожева, J.D. Achenbach, D. Gross, G.D. Manolis, C.Y. Wang и многих других авторов.

Первая глава диссертации посвящена построению интегральных представлений фундаментальных решений в плоских задачах для ортотропного и общего анизотропного случая в случае установившихся колебаний в виде однократных интегралов по конечному отрезку. В первом параграфе изложена постановка различных типов задач об установившихся колебаниях ортотропной упругой среды в условиях плоской деформации; компоненты вектора перемещения имеют вид ( EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ) и после отделения временного множителя EMBED Equation.3 уравнения колебаний представимы в форме

EMBED Microsoft Equation 3.0

(1)

где EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 — массовые силы, EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 — упругие постоянные материала, EMBED Equation.3 — плотность, EMBED Equation.3 — частота колебаний.

Сформулированы постановки задач об установившиеся колебаниях конечных ортотропных тел (задача 3), ортотропной плоскости с полостью, свободной от нагрузки, находящейся под действием либо падающего поля (задача 1) либо сосредоточенного источника (задача 2).

Замыкают постановку задач (1,2) условия излучения на бесконечности, при формулировке которых использован принцип предельного поглощения.

Во втором параграфе на основе интегрального преобразования Фурье построено представление фундаментальных решений для ортотропной плоскости в виде двукратного интеграла и исследованы кривые полярных множеств.

Под фундаментальными решениями системы (1) будем понимать функции EMBED Microsoft Equation 3.0 , удовлетворяющие (1) для EMBED Microsoft Equation 3.0 и условиям излучения на бесконечности

EMBED Microsoft Equation 3.0

(2)

где EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 ,

EMBED Microsoft Equation 3.0 — дифференциальные операторы в частных производных с постоянными коэффициентами

EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0

EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0

(3)

При помощи двумерного преобразования Фурье в рамках принципа предельного поглощения получено следующее интегральное представление фундаментальных решений

EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 ,

(4)

где EMBED Microsoft Equation 3.0 — однородные полиномы второго порядка, EMBED Microsoft Equation 3.0 — однородный полином четвёртого порядка по EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 — поверхность, совпадающая с вещественной плоскостью EMBED Microsoft Equation 3.0 , за исключением окрестностей множества нулей полинома EMBED Microsoft Equation 3.0 , которые она огибает в соответствии с условиями излучения.

Исследовано множество вещественных нулей полинома EMBED Microsoft Equation 3.0 . Осуществлен переход к безразмерным координатам EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 и в полярную систему координат EMBED Microsoft Equation 3.0 EMBED Microsoft Equation 3.0 . Множество нулей представляет собой две замкнутые непересекающиеся кривые, которые обладают симметрией относительно обеих координатных осей. Внутренняя кривая EMBED Microsoft Equation 3.0 для любого материала выпуклая, а возможное число точек перегиба на внешней кривой EMBED Microsoft Equation 3.0 равняется 8, 4 или 0. На рис.1 приведены графики кривых для различных материалов, иллюстрирующие эти случаи.

Рис.1

Третий параграф посвящен преобразованию представления фундаментальных решений вида (4) к более простому виду. Представление (4) малопригодно для практического использования, поэтому оно упрощено на основе анализа свойств подынтегральных функций и контурного интегрирования и преобразовано к интегралу по конечному отрезку EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,

(5)

где EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 — интегральные синус и косинус.

Интегральные представления (5) обладают свойствами EMBED Equation.3 -периодичности, четности при EMBED Equation.3 и нечетности при EMBED Equation.3 по полярному углу EMBED Equation.3 .

В четвертом параграфе исследована структура фундаментальных решений (5) при малых и больших значениях безразмерного параметра EMBED Equation.3 с использованием асимптотики специальных функций и асимптотических методов. Главный член асимптотики фундаментальных решений (5) при EMBED Equation.3 имеет логарифмическую особенность, такую же, как и в изотропном случае. Для построения асимптотики интегральных представлений (5) при EMBED Equation.3 применен метод стационарной фазы. Для этого были изучены стационарные точки фазовых функций в (5) и построены их зависимости от полярного угла EMBED Equation.3 . Главная часть асимптотики при EMBED Equation.3 фундаментальных решений (5) представлена в виде

EMBED Equation.3 ,

(6)

EMBED Equation.3 ,

(7)

где

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

— амплитуды,

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3

— фазы колебаний.

Направления при EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 назовем критическими, и асимптотика в этих случаях состоит из трех слагаемых, главные члены для двух из которых убывают как EMBED Equation.3 , третье соответствует кратной стационарной точке и главная часть для него убывает как EMBED Equation.3 .

На основе детального анализа асимптотики фундаментальных решений при EMBED Equation.3 представлена структура волнового поля в ортотропной среде в дальней зоне от действия сосредоточенной силы. Показано, что в разных зонах изменения угла EMBED Equation.3 имеется различное число распространяющихся мод колебаний. Например, для материала типа сегнетовой соли в первой и третьей зонах имеется две упругие волны, во второй зоне — четыре волны, вдоль направлений EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 — три волны (рис.2).

Рис.2

В пятом параграфе получены представления фундаментальных решений в общем случае анизотропии в виде однократного интеграла по конечному отрезку, которые аналогичны (5). Здесь нули характеристического полинома уже имеют три компоненты и соответственно суммирование идет от 1 до 3.

В шестом параграфе проверено совпадение асимптотик интегрального представления фундаментальных решений вида (5) при больших и малых значениях EMBED Equation.3 в предельном случае изотропного материала с соответствующими асимптотиками известных представлений фундаментальных решений, выраженных через функции Ханкеля.

Вторая глава посвящена формулировке на основе теоремы взаимности систем граничных интегральных уравнений, описывающих установившиеся колебания упругой анизотропной плоскости с полостью или конечного анизотропного тела. В первом параграфе получены две системы граничных интегральных уравнений; первая описывает колебания анизотропной плоскости с полостью произвольной формы от действия падающей плоской волны, вторая – от действия сосредоточенной силы.

Первая система ГИУ для нахождения поля перемещений отражённого поля имеет вид

EMBED Microsoft Equation 3.0 (8)

где

EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 ,

причём интегралы в (8) понимаются в смысле главного значения по Коши, EMBED Equation.3 — компоненты тензора напряжений (сингулярные решения), которые определяются на основе фундаментальных решений и обобщенного закона Гука.

Вторая система ГИУ для нахождения поля перемещений получена в виде

EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 , EMBED Microsoft Equation 3.0 , (9)

где EMBED Equation.3 — проекции сосредоточенной силы, приложенной в точке с координатами EMBED Equation.3 .

Второй параграф посвящен получению системы ГИУ в смешанной задаче об установившихся колебаниях конечного анизотропного тела, занимающего односвязную область, ограниченную гладким контуром EMBED Equation.3 .

Получена система ГИУ относительно компонент вектора перемещения на части контура EMBED Equation.3 и компонент вектора напряжения на EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

(10)

В третьем параграфе сформулированы граничные уравнения, наиболее приспособленные к изучению проблемы концентрации напряжений в анизотропной среде с отверстием под действием падающего поля. Получена система интегральных уравнений относительно EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

(11)

и выражение для EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 в виде

EMBED Equation.3 (12)

В третьей главе осуществлена дискретизация систем ГИУ (8)-(9), (11) на основе метода граничных элементов и проведен анализ численных результатов. В первом параграфе рассмотрен вопрос о сведении систем граничных интегральных уравнений (8)-(9) к системам линейных алгебраических уравнений. Для аппроксимации контура EMBED Equation.3 использованы линейные элементы. Число их выбиралось таким образом, чтобы на длину волны приходилось не менее 8 элементов. Считалось, что неизвестные на элементе постоянны, что характерно для разрывных граничных элементов. Для сведения ГИУ к решению алгебраических систем использовался метод коллокаций. Системы ГИУ (8)-(9) сведены к системам линейных алгебраических уравнений (13)-(14)

EMBED Equation.3 ,

(13)

где

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 .

EMBED Equation.3 ,

(14)

где

EMBED Equation.3

Благодаря использованию линейных элементов удается осуществить в явном виде интегрирование по прямолинейному элементу и коэффициенты алгебраических систем EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 представить в виде однократных интегралов по конечному отрезку EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

(15)

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 ,

(16)

где введены следующие функции своими интегральными представлениями

EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ,

а EMBED Equation.3 .

Показано, что введенные функции выражается через известные специальные функции следующим образом

EMBED Equation.3 ,

EMBED Equation.3 .

Полученные представления коэффициентов (15)-(16) удобны при численной реализации, поскольку подынтегральные функции в представлениях коэффициентов EMBED Equation.3 в отличие от классического метода ГЭ имеют не сингулярные, а всего лишь логарифмические особенности.

Второй параграф посвящен дискретизации системы ГИУ (8) с применением сплайн-аппроксимации, приведен вид коэффициентов системы в виде однократных интегралов по конечному отрезку. Третий параграф посвящен дискретизации системы ГИУ (11).

В первой части четвертого параграфа представлен вид коэффициентов EMBED Equation.3 , учитывающих конкретное расположение особенностей на интервале интегрирования и приспособленный к вычислению на основе квадратурных формул. В этом представлении коэффициентов EMBED Equation.3 логарифмические слагаемые выделены и далее преобразованы таким образом, что позволяет упростить процедуру численного интегрирования. Это представление использовалось всегда, кроме тех частных случаев, когда расстояние между особенностями подынтегральной функции в (16) мало (сближающиеся особенности). В этом случае необходимо применять другие расчетные формулы, при выводе которых учитывалась асимптотика подынтегральных функций в (16).

Во второй части описана численная реализация в случае задачи 1 и задачи 2. Вычисление коэффициентов EMBED Microsoft Equation 3.0 , а также EMBED Microsoft Equation 3.0 после проведения процедуры выделения логарифмических особенностей, проводилось на основе квадратурной формулы Симпсона. Полученные линейные алгебраические системы для нахождения узловых значений компонент поля перемещений хорошо обусловлены и решались численно методом Гаусса с выбором главного элемента. Представлены результаты, иллюстрирующие внутреннюю сходимость численного алгоритма метода при малых ( EMBED Equation.3 ), средних ( EMBED Equation.3 ) и больших ( EMBED Equation.3 ) значениях волнового числа EMBED Microsoft Equation 3.0 в случае круговой полости единичного радиуса. На рис.3 для материала с упругими постоянными, соответствующими кристаллу сульфйодида сурьмы, приведены графики вещественных и мнимых частей компонент отраженного поля перемещений при количестве элементов EMBED Microsoft Equation 3.0 равных 20, 40, 60 и 80 для волнового числа EMBED Equation.3 в случае задачи 1.

Рис.3

На рис.4 приведены графики вещественных и мнимых частей компонент поля перемещений при количестве элементов EMBED Microsoft Equation 3.0 равных 10, 20, 30 и 40 для волнового числа EMBED Microsoft Equation 3.0 в случае задачи 2. При этом тип падающего поля и сосредоточенной силы схематично изображены внизу рисунков. Результаты проведенного численного исследования, иллюстрирующие внутреннюю сходимость метода, для эллиптической полости в виде графиков вынесены в приложение.

Рис.4

В четвертой главе исследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия свободного от напряжений. В первом параграфе исследование основывается на асимптотическом подходе и методе комплексных потенциалов С. Г. Лехницкого. Во втором параграфе на основе интегрального представления фундаментальных решений (4) получено интегральное представление напряжения EMBED Equation.3 .

В третьем параграфе исследуется вопрос о концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия в случае задания плоской волны. На основе узловых значений перемещений, посчитанных на основе МГЭ, реализация которого изложена в третьей главе, и сплайн-аппроксимаций численно реализован алгоритм вычисления динамического коэффициента концентрации напряжений EMBED Equation.3 .

Для оценки точности результатов построены зависимости мнимой и действительной составляющей EMBED Equation.3 для изотропной среды на контуре отверстия от волнового числа EMBED Equation.3 для значений коэффициента Пуассона EMBED Equation.3 . На рис.5 ( EMBED Equation.3 — действительная составляющая, EMBED Equation.3 — мнимая составляющая) приведены графики для точки EMBED Equation.3 , сплошной линией отображены графики из монографии А.Н. Гузя, В.Д. Кубенко и М.А. Черевко «Дифракция упругих волн» (Киев, Наукова думка, 1978 г.), штрихпунктирной — построены на основе МГЭ. Результаты свидетельствуют о достаточно точной схеме расчета напряжения EMBED Equation.3 .

Рис.5

Рис.6

Построены зависимости динамического коэффициента концентрации напряжений EMBED Equation.3 от угловой координаты EMBED Equation.3 при малых ( EMBED Equation.3 ), средних ( EMBED Equation.3 ) и больших ( EMBED Equation.3 ) значениях волнового числа EMBED Microsoft Equation 3.0 . На рис.6 приведены графики зависимости действительной и мнимой части EMBED Equation.3 от угловой координаты на круговой полости единичного радиуса для волнового числа EMBED Equation.3 для трех ортотропных материалов, из которых можно определить углы, в которых достигается максимум соответствующих характеристик.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационного исследования.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Построены новые интегральные представления фундаментальных решений для ортотропной и произвольной анизотропной среды при установившихся колебаниях в плоском случае.

Исследованы асимптотики фундаментальных решений для ортотропной среды в ближней и дальней зонах.

На основе построенных фундаментальных решений сформулированы системы ГИУ для решения краевых задач для конечных ортотропных тел и для плоскости с полостью произвольной формы.

С помощью идеологии метода граничных элементов разработаны алгоритмы и программы расчета волновых полей в ортотропной среде с полостью произвольной формы, причем для формирования линейных систем требуется вычислять лишь однократные интегралы с особенностями не сильнее логарифмических.

Исследованы вопросы концентрации напряжений в ортотропной среде возле кругового отверстия при установившихся колебаниях.

СПИСОК РАБОТ, ОПУБЛИКОВАННЫХ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

(фамилия соискателя: Колосова Е.М. – после вступления в брак,

Чебакова Е.М. — до вступления в брак)

Чебакова Е.М. Об одном представлении фундаментальных решений для ортотропной среды // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды VII Междунар. конф. памяти академика РАН И.И. Воровича, Ростов-на-Дону, 22-24 октября 2001 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2002. С. 159-163.

Чебакова Е.М. Колебания ортотропной среды с полостью произвольной формы // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета. Т. VIII. Ростов-на-Дону, 2002. С. 23-25.

Чебакова Е.М. О реализации МГЭ в задаче о колебаниях ортотропной плоскости с полостью // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды VIII Международной конференции, Ростов-на-Дону, 14-18 октября 2002 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: «Новая книга», 2003. С. 204-208.

Чебакова Е.М. О применении метода стационарной фазы к построению асимптотик фундаментальных решений для ортотропной среды // Труды аспирантов и соискателей Ростовского Государственного Университета. Т. IX. Ростов-на-Дону, 2003. С. 51-53.

Ватульян А.О., Чебакова Е.М. Об одной модели исследования концентрации напряжений при колебаниях ортотропной среды с отверстием // Сборник научных трудов VI Всероссийского симпозиума «Математическое моделирование и компьютерные технологии». Кисловодск, 2004. С. 19-20.

Ватульян А.О., Чебакова Е.М. Фундаментальные решения для ортотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45, № 6. С. 131–139.

Ватульян А.О., Чебакова Е.М. Фундаментальные решения для анизотропной упругой среды в случае установившихся колебаний // Теоретическая и прикладная механика. 2005. Вып. 40. С. 174-178.

Ватульян А.О., Чебакова Е.М. О новых граничных уравнениях в задачах о концентрации напряжений // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды IX Междунар. конф., посвященной 85-летию со дня рождения академика РАН И.И. Воровича, Ростов-на-Дону, 11-15 октября 2005 г. Т. 2. Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2006. С. 52-56.

Колосова Е.М. Исследование колебаний ортотропной среды с полостью на основе метода ГИУ // Современные проблемы механики сплошной среды: Труды X Междунар. конф., Ростов-на-Дону, 5-9 декабря 2006 г. Т. 1. Ростов-на-Дону: Из-во ООО «ЦВВР», 2007. С. 167-171.

PAGE 1

PAGE 20