Частные производные” Студентка группы м-27052 Гришкина Е. В. Про

ГОУ ВПО УГТУ-УПИ им. Первого президента РФ Б.Н.ЕЛЬЦИНА

Кафедра электронного машиностроения

РЕФЕРАТ

НА ТЕМУ:

“ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ”

ВЫПОЛНИЛА:

Студентка группы М-27052

Гришкина Е.В.

ПРОВЕРИЛА:

Огородникова О.М.

г. Екатеринбург — 2009

СОДЕРЖАНИЕ

Функции нескольких переменных

Определение функции нескольких переменных

Предел функции двух переменных

Непрерывность функции двух переменных

Частные производные

Частные производные

Полный дифференциал

Производная и дифференциал сложной функции

Неявные функции и их дифференцирования

Частные производные и дифференциалы высших порядков

Частные производные высших порядков

Признак полного дифференцирования

Дифференциалы высших порядков

ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПРЕМЕННЫХ

1.1 Определение функции нескольких переменных

Переменная z называется функцией двух независимых переменных x и y, если некоторым парам значении x и y по какому–либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение z.

Множество G пар значений x и y, которые могут принимать переменные x и y, называется областью определения функции, а множество всех значений, принимаемых z в области определения, — областью значений функции z. Переменные x и y называются аргументами функции.

Пара чисел x и y определяет положение точки M на плоскости xOy с координатами x и y. Поэтому функцию двух переменных можно рассматривать либо как функцию двух переменных EMBED Equation.3, можно рассматривать как функцию точки M EMBED Equation.3, либо как скалярную функцию векторного аргумента EMBED Equation.3 EMBED Equation.3.

Каждой тройке (x; y; z) в пространстве Oxyz соответствует точка M(x; y; z). Совершенно аналогично случаю двух переменных можно дать определение функции трех переменных EMBED Equation.3. Областью определения функции трех переменных будет все пространство или его часть.

Аналогично можно дать определение функции четырех и более переменных.

Предел функции двух переменных

Множество точек M(x; y), координаты x и y которых удовлетворяют неравенству EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 называется δ-окрестность точки EMBED Equation.3.

Определение. Число A называет пределом функции EMBED Equation.3 при стремлении точки M к точке EMBED Equation.3, если для любого ε>0 существует такое δ>0, что для всех точек M из области определения этой функции, удовлетворяющих условию EMBED Equation.3 имеет место неравенство EMBED Equation.3. Обозначают это так: EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3

Функция EMBED Equation.3 называется бесконечно малой при EMBED Equation.3 если EMBED Equation.3

Непрерывность функции двух переменных

Пусть точка EMBED Equation.3 принадлежит области определения EMBED Equation.3. Определение. Функция EMBED Equation.3 называется непрерывной в точке EMBED Equation.3 если

EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 причем точка M стремится к M0 произвольным образом, оставаясь в области определения функции.

Обозначим EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Полным приращением EMBED Equation.3 при переходе от точки EMBED Equation.3, к точке M называется разность значении функции в этой точке EMBED Equation.3, т.е. EMBED Equation.3

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ

2.1 Частные производные

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматриваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксированными (постоянными). Например, для функции двух переменных EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 частные производные определяются так:

EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3,

если эти пределы существуют. Величина EMBED Equation.3 называется частным приращением функции z в точке EMBED Equation.3 по аргументу EMBED Equation.3. Используются и другие обозначения частных производных:

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Символы EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 как дроби трактовать нельзя (в этом отличие от случая одной переменной).

Из определения следует геометрический смысл частной производной функции двух переменных: частная производная EMBED Equation.3 — угловой коэффициент касательной к линии пересечения поверхности EMBED Equation.3 и плоскости EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 в соответствующей точке.

Пользуясь понятием скорости изменения переменной, можно сказать, что частная производная EMBED Equation.3 есть скорость изменения функции EMBED Equation.3 относительно EMBED Equation.3 при постоянном EMBED Equation.3.

Из определения частных производных следует, что правила вычисления их остаются теми же, что для функций одной переменной, и только требуется помнить, по какой переменной ищется производная.

Пример 1. Если EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Пример 2. Если EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Величина EMBED Equation.3 называется изотермическим коэффициентом упругости идеального газа.

Аналогично определяются и обозначаются частные производные функции трех и большего числа независимых переменных.

Полный дифференциал

EMBED Equation.3. (1)

Если приращение (1) можно представить в виде EMBED Equation.3, (2)

Где Аи В не зависят от EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, а EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 стремятся к нулю при стремлении к нулю EMBED Equation.3EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, то функция EMBED Equation.3 называется дифференцируемой в точке EMBED Equation.3, а линейная часть EMBED Equation.3 приращения функции (т.е. та часть EMBED Equation.3, которая зависит от EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 линейно) называется полным дифференциалом (или просто дифференциалом) этой функции в точке EMBED Equation.3 и обозначается символом EMBED Equation.3:

EMBED Equation.3EMBED Equation.3. (3)

Из определения дифференцируемости функции следует, что если данная функция дифференцируема в точке EMBED Equation.3, то она в этой точке непрерывна.

Действительно, если в точке EMBED Equation.3 функция EMBED Equation.3 дифференцируема, то для этой точки EMBED Equation.3 представимо в форме (2), откуда следует, что

EMBED Equation.3,

а это и означает, что в точке EMBED Equation.3 функция EMBED Equation.3 непрерывна.

Из дифференцируемости функции в данной точке следует существование ее частных производных в этой точке (необходимое условие дифференцируемости).

В самом деле, пусть функция EMBED Equation.3 в точке EMBED Equation.3 дифференцируема. Тогда имеет место соотношение (2). Полагая в нем EMBED Equation.3, имеем:

EMBED Equation.3.

Деля на EMBED Equation.3 и переходя к пределу при EMBED Equation.3, получаем:

EMBED Equation.3.

Это означает, что в точке EMBED Equation.3 существует частная производная функции EMBED Equation.3 по EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3. (4)

Аналогично доказывается, что в точке EMBED Equation.3 существует частная производная

EMBED Equation.3. (5)

Используя формулы (4) и (5), можно переписать выражение (3) в виде

EMBED Equation.3.

Если положить EMBED Equation.3, то EMBED Equation.3, т.е. EMBED Equation.3. Аналогично, полагая EMBED Equation.3, получим EMBED Equation.3. Значит, дифференциалы независимых переменных совпадают с приращениями этих переменных, и можно записать дифференциал (3) в следующем виде: EMBED Equation.3.

Теорема (достаточное условие дифференцируемости). Если функция EMBED Equation.3 имеет частные производные в некоторой окрестности точки EMBED Equation.3 и эти производные непрерывны в самой точке EMBED Equation.3, то эта функция дифференцируема в точке EMBED Equation.3.

Доказательство. Дадим переменным EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 столь малые приращения EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, чтобы точка EMBED Equation.3 не вышла за пределы указанной окрестности точки EMBED Equation.3. Полное приращение EMBED Equation.3 можно записать в виде EMBED Equation.3.

Каждая из этих разностей представляет частное приращение функции. Преобразует каждую из этих разностей по формуле Лагранжа. Получим:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 (6)

Так как производные EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 непрерывны в точке EMBED Equation.3, то

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3

Отсюда

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 — бесконечно малые при EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Подставляя эти значения в равенство (6), находим:

EMBED Equation.3,

а это и означает, что функция EMBED Equation.3 дифференцируема в точке EMBED Equation.3.

2.3 Производные и дифференциал сложной функции

Пусть EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Тогда в конечном итоге z будет функцией одной переменной t. Предположим, что EMBED Equation.3,EMBED Equation.3 непрерывны и EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 существуют. Найдем EMBED Equation.3. Дадим переменной t приращение EMBED Equation.3. Тогда x, y, а следовательно, и z получат свои приращения EMBED Equation.3,EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3. В силу достаточного условия дифференцируемости

EMBED Equation.3,

откуда

EMBED Equation.3.

Устремим теперь EMBED Equation.3 к нулю. Тогда EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 будут стремиться к нулю, так как функции x и y непрерывны (мы предположили существование производных EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3), а потому EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 будут стремиться к нулю. В пределе получим:

EMBED Equation.3,

или, короче,

EMBED Equation.3. (7)

Формула (7) называется формулой производной сложной функции.

Пример 1. Пусть EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. По формуле (7) имеем:

EMBED Equation.3.

Предположим, в частности, что роль независимой переменной играет, т.е. рассмотрим функцию EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3. Согласно формуле (7) будем иметь:

EMBED Equation.3, (8)

так как EMBED Equation.3. В формуле (8) EMBED Equation.3 — частная производная по первому аргументу функции двух переменных EMBED Equation.3, а EMBED Equation.3 — обычная производная сложной функции одной переменной x: EMBED Equation.3. Последнюю производную будем называть полной производной функции. В случае, когда EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3, аналогично получает:

EMBED Equation.3

(EMBED Equation.3 — частная производная по второму аргументу функции EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 — полная производная функции одной переменной y: EMBED Equation.3).

Пусть теперь EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 ( здесь предполагается существование первых производных функций EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 по EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3). В этом случае z будет функцией двух независимых переменных EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3. Следовательно, для этого случая формулу (7) нужно переписать в виде

EMBED Equation.3. (9)

Аналогично

EMBED Equation.3. (10)

Пример 2. Если EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3, от EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Из формул (9) и (10) видно, что символ частной производной, как уже отмечалось выше, нельзя трактовать как дробь. В самом деле, если бы можно было сократить на EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, то из формул (9) и (10) получили бы, что

EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3.

Неявные функции и их дифференцирование

Если уравнение, с помощью которого задается функция одной переменной x, не разрешено относительно y, то эта функция называется неявной. Разрешая это уравнение относительно y, мы получаем ту же функцию, но уже заданную в явной форме. Однако часто бывает, что разрешить такое уравнение относительно y невозможно (например, EMBED Equation.3) или нецелесообразно; в этом случае уравнение так и оставляют неразрешенным, в общем виде (когда все его члены перенесены в левую часть):

EMBED Equation.3. (11)

В связи с этим встает вопрос о том, как найти производную неявной функции, не разрешая уравнения (11) относительно у.

Если в уравнении (11), определяющем неявную функцию EMBED Equation.3, задавать значения независимой переменной х, то для нахождения соответствующего значения у надо решать уравнение. Теперь, если в это уравнение подставить его решение, то получится тождество. Поэтому можно сказать также, что неявная функция EMBED Equation.3, определенная уравнением (11), — это такая функция, которая, будучи подставлена в уравнение (11), обращает его в тождество. Дифференцируя это тождество по x согласно правилу дифференцирования сложной функции, получим:

EMBED Equation.3.

Отсюда при EMBED Equation.3 вытекает формула для производной неявной функции

EMBED Equation.3. (12)

Пример 1. Пусть y как функция от x задана соотношением EMBED Equation.3. Найти EMBED Equation.3.

Для EMBED Equation.3 имеем: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 и согласно формуле (12)

EMBED Equation.3.

Пусть уравнение EMBED Equation.3 (13)

Определяет z как неявную функцию EMBED Equation.3 независимых переменных xи y.

Пользуясь формулой (12), из равенства (13) имеем:

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. (14)

Пример 2. Найти частные производные неявной функции z, заданной уравнением EMBED Equation.3.

Согласно формулам (14)

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3

ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

Частные производные высших порядков

Частные производные функции нескольких переменных сами являются функциями этих переменных и могут иметь частные производные. Для исходной функции эти последние производные будут частными производными второго порядка. Так, для функции EMBED Equation.3 двух независимых переменных можно определить (предполагается, что все производные существуют) четыре частные производные второго порядка, которые обозначаются символами

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3,

EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст