Теория по геометрии за 7 класс

7 класс

Аксиома: через любые две точки можно провести прямую, и притом только одну.

Поэтому: две прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют общих точек.

Угол — это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Лучи называются сторонами угла, а их общее начало — вершиной угла.

Любой угол разделяет плоскость на две части. Если угол неразвернутый, то одна из частей называется внутренней, а другая — внешней областью этого угла.

Если угол развернутый, то любую из двух частей, на которые он разделяет плоскость, можно считать внутренней областью угла. Фигуру, состоящую из угла и его внутренней области, также называют углом.

Две геометрические фигуры называются равными, если их можно совместить наложением.

Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка.

Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла.

Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком).

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину.

Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.

Обычно за единицу измерения углов принимают градус — угол, равный -1/180 части развернутого угла.

Равные углы имеют равные градусные меры.

Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

Развернутый угол равен 180°.

Когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов.

Угол называется прямым, если он равен 90°, острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла, тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого, но меньше развернутого угла

Два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой, называются смежными.

Сумма смежных углов равна 180°.

Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Вертикальные углы равны.

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными), если они образуют четыре прямых угла.

Две прямые, перпендикулярные к третьей, не пересекаются.

Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром.

Признаки равенства треугольников:

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Окружностью называется геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка называется центром окружности, а отрезок, соединяющий центр с какой-либо точкой окружности, — радиусом окружности.

Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется ее хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. Часть плоскости, ограниченная окружностью, называется кругом.

Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на этой прямой. Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра.

Теорема: Из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр и только один.

Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника

Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

В любом треугольнике медианы, высоты и биссектрисы пересекаются в одной точке.

Треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Равные стороны называются боковыми сторонами, а третья сторона — основанием равнобедренного треугольника.

Треугольник, все стороны которого равны, называется равносторонним.

Теорема: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Теорема: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Признаки параллельности:

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Аксиомы:

через любые две точки проходит прямая, и притом только одна.

на любом луче от его начала можно отложить отрезок, равный данному, и притом только один.

от любого луча в заданную сторону можно отложить угол, равный данному неразвернутому углу, и притом только один.

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Следствия из аксиом:

Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую.

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Обратные теоремы:

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Сумма углов треугольника равна 180°.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.

Если все три угла треугольника острые, то треугольник называется остроугольным.

Если один из углов треугольника тупой, то треугольник называется тупоугольным.

Если один из углов треугольника прямой, то треугольник называется прямоугольным. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны — катетами.

Теорема: В треугольнике: 1) против большей стороны лежит больший угол; 2) обратно, против большего угла лежит большая сторона.

Следствие 1: В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета.

Следствие 2: Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника).

Теорема о неравенстве треугольника: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Следствие: Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС+СВ, АС<АВ+ВС, ВС<ВА+АС.

Некоторые свойства прямоугольных треугольников:

Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы.

Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников:

Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой, называется расстоянием от этой точки до прямой.

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Расстояние от произвольной точки одной из параллельных прямых до другой прямой называется расстоянием между этими прямыми.

Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.





Внимание, только СЕГОДНЯ!