Связности на оснащенных многомерных поверхностях в конформном пр

На правах рукописи

Зверева Татьяна Витальевна

СВЯЗНОСТИ НА ОСНАЩЕННЫХ

МНОГОМЕРНЫХ ПОВЕРХНОСТЯХ

В КОНФОРМНОМ ПРОСТРАНСТВЕ

01.01.04 – геометрия и топология

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

Казань – 2011

Работа выполнена на кафедре геометрии ФГБОУ ВПО «Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева»

Научный руководитель:доктор физико-математических наук,

профессор

Столяров Алексей Васильевич

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

профессор

Малаховский Владислав Степанович

кандидат физико-математических наук,

профессор

Султанов Адгам Яхиевич

Ведущая организация:Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова

Защита состоится 29 сентября 2011 года в 14 часов 30 минут в ауд. 337 НИИММ им. Н. Г. Чеботарева на заседании диссертационного совета Д. 212.081.10 при Казанском (Приволжском) федеральном университете по адресу: 420008, г. Казань, ул. проф. Нужина, д. 1/37.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Казанского (Приволжского) федерального университета (г. Казань, ул. Кремлевская, 18).

Автореферат разослан «__» июня 2011 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

канд. физ.-мат. наук, доцент

Липачев Е. К.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Постановка вопроса и актуальность темы. Конформно-дифференциальная геометрия трехмерного пространства зародилась внутри классической дифференциальной геометрии в конце XIX века в работах Дарбу, Рибокура и других геометров.

В 1924 г. появляется работа Томсена [24], в которой для изучения конформно-дифференциальной геометрии поверхностей применяются пентасферические координаты и тензорное исчисление. Э. Картан [20] вводит понятие n-мерного пространства конформной связности. В это же время теория многомерных пространств конформной связности разрабатывается в работах Т. И. Томаса, И. М. Томаса и ряда других геометров. С. Сасаки в 1939–40 гг. развивает теорию кривых и гиперповерхностей в пространстве конформной связности. К. Яно в работах [26], [27] изучает конформную геометрию EMBED Equation.3 -мерной поверхности в EMBED Equation.3 -мерном римановом пространстве, строит инвариантные тензоры, связанные с ее окрестностью второго порядка. А. Фиалков [22] в 1944 г. построил полную систему конформно-инвариантных тензоров EMBED Equation.3 -мерной поверхности EMBED Equation.3 -мерного риманова пространства. Однако в большинстве перечисленных работ конформно-дифференциальная геометрия многомерных поверхностей строится средствами евклидовой и римановой геометрий, что сильно осложняет геометрическое истолкование полученных результатов.

Новый этап в развитии конформно-дифференциальной геометрии связан с работами отечественных геометров, а именно, с работами с применением к конформной геометрии общей теории образов симметрии в однородных пространствах Б. А. Розенфельда [12], общей теории нормализованных поверхностей А. П. Нордена [9], [10], общей теории многообразий в однородных пространствах и в пространствах со связностями Г. Ф. Лаптева [5], [6].

Метод Г. Ф. Лаптева был применен М. А. Акивисом [1], [2] к построению основ инвариантной теории гиперповерхностей, m-мерных поверхностей n-мерного конформного и псевдоконформного пространств. А. П. Норден [3], [9], [10] получил существенные результаты по конформно-дифференциальной геометрии различных подмногообразий. В работах А. В. Столярова [13], [14] изучается внутренняя геометрия ряда подмногообразий конформного пространства Cn и пространства конформной связности Cn,n, оснащенных в том или ином смысле. В. Д. Третьяков [15] в псевдоконформном пространстве EMBED Equation.3 рассматривает поверхность Vm, нормализованную гармонически; приводятся деривационные уравнения для этой поверхности, изучаются частные типы таких поверхностей. И. В. Парнасский [11] в полуконформном пространстве рассматривает m-мерную поверхность Vm; показано, что при соответствующем оснащении на поверхности Vm индуцируется полуконформная связность. Л. Ф. Филоненко [16] рассматривает распределение m-мерных линейных элементов в (n-1)-мерном конформном пространстве, используя, в основном, его проективную интерпретацию. Исследования А. Н. Михайловой [8] посвящены изучению некоторых вопросов линейных связностей на оснащенной гиперполосе конформного пространства. Т. Н. Глухова (Андреева) [14] исследует линейные связности (аффинные, конформные, нормальные), индуцируемые различными оснащениями гиперповерхности в конформном пространстве. А. М. Матвеевой в работе [7] разработаны основы теории линейных связностей на распределениях гиперплоскостных элементов в конформном пространстве Cn.

В дифференциальной геометрии важное место занимает теория связностей в расслоенных пространствах, а также ее применение при исследовании оснащенных подмногообразий, погруженных в различные пространства.

История теории связностей начинается с 1917 г. с работы Т. Леви-Чивита [23] о параллельном перенесении вектора в римановой геометрии. Г. Вейль [25] для построения единой теории поля ввел понятие пространства аффинной связности. Новый этап в развитии теории связностей открыли работы Э. Картана в 20-х годах ХХ века, в которых касательные векторные пространства заменялись аффинными, проективными или конформными пространствами. В середине ХХ века В. В. Вагнер [4] и Ш. Эресман [21] независимо друг от друга ввели общее понятие связности в расслоенном пространстве.

Для изучения геометрии многомерных поверхностей проективного пространства и других однородных пространств, фундаментальная группа которых является подгруппой проективной группы, А. П. Норден разработал метод нормализации [9], [10], который позволил в касательных расслоениях подмногообразий проективного пространства индуцировать аффинные связности без кручения. Г. Ф. Лаптев [5], следуя идеям Э. Картана, линейные связности определяет как множества отображений бесконечно близких слоев расслоения, соответствующих касательным векторам базисного многообразия.

Понятие нормальной связности нормализованного подмногообразия в проективном пространстве ввел А. П. Норден [10] (внешняя связность). Большой вклад в развитие теории нормальных связностей внес А. В. Чакмазян [18], [19].

Объектом исследования настоящей работы являются гиперповерхность EMBED Equation.3 пространства конформной связности EMBED Equation.3 и многомерная поверхность EMBED Equation.3 , погруженная в конформное пространство EMBED Equation.3 (псевдоконформное или собственно конформное), а также линейные связности (аффинные, нормальные, конформные), индуцируемые различными оснащениями (нормальным, касательным, полным) указанных поверхностей.

Теория конформного пространства EMBED Equation.3 и вложенных в него поверхностей к настоящему времени разработана достаточно полно. Однако, изучение линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерных поверхностей, до настоящего времени оставались слабо изученными. Вопросы разработки теоретических и практических положений по изучению линейных связностей на оснащенной поверхности в конформном пространстве, а также гиперповерхности пространства конформной связности представляют большой научный интерес и являются актуальными в связи с возможными приложениями полученных результатов в математике, механике и физике.

Цель работы. Целью настоящего диссертационного исследования является инвариантное построение основ теории линейных связностей, индуцируемых различными оснащениями многомерной поверхности EMBED Equation.3 , погруженной в n-мерное конформное пространство EMBED Equation.3 , а именно:

1) построение в разных дифференциальных окрестностях инвариантных внутренним образом определяемых нормальных, касательных, полных оснащений поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 , а также гиперповерхности EMBED Equation.3 пространства конформной связности EMBED Equation.3 ;

2) разработка основ теории линейных связностей (аффинных, нормальных, конформных), определяемых различными оснащениями рассматриваемых поверхностей;

3) приложение аффинной связности, индуцируемой нормальным оснащением многомерной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 , к изучению геометрии сетей на подмногообразии EMBED Equation.3 .

Методы исследования. Теория оснащенных многомерных поверхностей развивается инвариантными методами дифференциально-геометрических исследований, а именно, методом продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева [5] и методом внешних дифференциальных форм Э. Картана [17]. Следует отметить, что результаты по теории линейных связностей получены с применением теории связностей в расслоенных пространствах в форме, данной Г. Ф. Лаптевым [5], [6].

Все результаты получены в минимально специализированной системе отнесения, что позволило получить их в инвариантной форме. Рассмотрения в диссертации проводятся с локальной точки зрения. Все встречающиеся функции предполагаются достаточное число раз дифференцируемыми (то есть изучаемые подмногообразия достаточно гладкие), а при доказательстве теорем существования – аналитическими.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертационном исследовании в ходе решения поставленных задач, являются новыми. Научная новизна обусловлена тем, что изучением геометрии линейных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности конформного пространства и гиперповерхности пространства конформной связности, геометры раннее почти не занимались.

Использование аналитического метода продолжений и охватов Г. Ф. Лаптева и исследование дифференциально-геометрических структур, индуцируемых полями фундаментальных и оснащающих объектов рассматриваемых подмногообразий, позволило получить новые существенные результаты в теории оснащенных гиперповерхности пространства конформной связности EMBED Equation.3 и многомерной поверхности конформного пространства EMBED Equation.3 .

В диссертационной работе приведены доказательства всех основных выводов, которые сформулированы в виде теорем.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа имеет теоретическое значение. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении геометрии различных многообразий, погруженных в пространства более общей структуры (например, в пространство конформной связности).

Теория, разработанная в диссертации, может быть использована в качестве специальных и факультативных лекционных курсов для студентов старших курсов и аспирантов математических факультетов, а также при выполнении ими курсовых, дипломных и научных работ.

Апробация. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на следующих конференциях и семинарах по современным проблемам геометрии: на заседаниях научно-исследовательского семинара молодых исследователей при кафедре геометрии Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2007–2010 гг.), на научно-практических конференциях преподавателей, докторантов и аспирантов Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева (2007–2010 гг.), на XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России» (Московская обл., п. Непецино, 2009 г.) (работа удостоена диплома I степени), на XLVII и XLVIII Международных научных студенческих конференциях «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2009г. и 2010 г.), на 10-ой Международной конференции «Актуальные проблемы современной науки» (г. Самара, 2009 г.), в Восьмой молодежной школе-конференции «Лобачевские чтения – 2009» (г. Казань, 2009 г.), на III Всероссийской научно-практической конференции «Фундаментальные науки и образование» (г. Бийск, Алтайский край, 2010 г.), на I Международной научно-практической конференции «Наука и современность – 2010» (г. Новосибирск, 2010), на Международной конференции «Геометрия в Одессе–2010» (г. Одесса, 2010), на Международной конференции «Геометрия, топология, алгебра и теория чисел, приложения» (г. Москва, 2010).

Публикации. Основные научные результаты, включенные в диссертационную работу, опубликованы в 18 печатных работах автора (см. [1]–[18]).

Вклад автора в разработку избранных проблем. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. Все опубликованные научные работы по теме исследования выполнены без соавторов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения (исторический обзор, общая характеристика диссертации, содержание диссертации), трех глав и списка литературы, включающего 115 наименований. Полный объем диссертации составляет 121 страницу машинописного текста.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе I изучаются линейные связности на оснащенной гиперповерхности EMBED Equation.3 в пространстве конформной связности EMBED Equation.3 .

В §§ 1, 2 главы I приводится материал, носящий реферативный характер и необходимый для дальнейшего изложения.

В § 3 записываются дифференциальные уравнения гиперповерхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 . В третьей дифференциальной окрестности построены 3 полных оснащения гиперповерхности, определенных внутренним образом.

§ 4 посвящен изучению аффинных связностей на нормально оснащенной гиперповерхности в пространстве конформной связности EMBED Equation.3 . Показано, что при нормальном оснащении гиперповерхности в EMBED Equation.3 полем квазитензора EMBED Equation.3 индуцируется пространство аффинной связности EMBED Equation.3 . Доказано, что вейлево пространство EMBED Equation.3 является обобщенно римановым с полем метрического тензора EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор EMBED Equation.3 (теорема I.4). Класс таких пространств не пуст; например, пространство аффинной связности EMBED Equation.3 , индуцируемое нормальным оснащением гиперповерхности EMBED Equation.3 полем любого из квазитензоров EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 =1,2) третьего порядка. Показано, что при нормальном оснащении гиперповерхности EMBED Equation.3 , вложенной в эквиконформное пространство EMBED Equation.3 , индуцируется риманово пространство EMBED Equation.3 с полем метрического тензора EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда кососимметричный тензор EMBED Equation.3 обращается в нуль; в частности, при нормальном оснащении гиперповерхности EMBED Equation.3 полем любого из квазитензоров EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 =1,2) третьего порядка пространство EMBED Equation.3 является римановым.

Путем преобразования структурных форм EMBED Equation.3 аффинной связности EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 найдены две аффинные связности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности EMBED Equation.3 пространства конформной связности EMBED Equation.3 ; приведены строения компонент тензоров кривизны и кручения соответствующих пространств аффинной связности. Доказано, что аффинные связности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 сопряжены относительно полей тензоров соответственно EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 второго порядка (теоремы I.6 и I.7)

В § 5 главы I изучаются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями гиперповерхности EMBED Equation.3 пространства конформной связности EMBED Equation.3 . Доказано, что инвариантное касательное оснащение гиперповерхности EMBED Equation.3 полем гиперсфер EMBED Equation.3 индуцирует пространство конформной связности EMBED Equation.3 с полем метрического тензора EMBED Equation.3 (теорема I.8). Все точки каждого слоя пространства конформной связности EMBED Equation.3 , индуцируемого при касательном оснащении гиперповерхности EMBED Equation.3 полем гиперсфер EMBED Equation.3 , при перенесении Дарбу отображаются в точки квадрики Дарбу EMBED Equation.3 , получающейся пересечением гиперквадрики Дарбу EMBED Equation.3 с полярой точки EMBED Equation.3 относительно этой гиперквадрики.

Показано, что если задано полное оснащение гиперповерхности EMBED Equation.3 полями квазитензоров EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , то индуцируется нормализованное пространство конформной связности EMBED Equation.3 (теорема I.10). В случае, когда полное оснащение подмногообразия EMBED Equation.3 является невырожденным (то есть основной тензор нормализации EMBED Equation.3 невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности EMBED Equation.3 , метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 (теорема I.11); приведены строения компонент тензора кривизны-кручения пространства EMBED Equation.3 .

§ 6 посвящен изучению нормальных связностей на гиперповерхности EMBED Equation.3 пространства конформной связности EMBED Equation.3 . На нормально оснащенной гиперповерхности в расслоении окружностей EMBED Equation.3 найдены две нормальные связности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 ; приведены строения тензоров кривизны-кручения соответствующих пространств. Доказаны следующие предложения (теоремы I.12, I.13):

– на нормально оснащенной полем квазитензора EMBED Equation.3 гиперповерхности EMBED Equation.3 , вложенной в пространство конформной связности EMBED Equation.3 , в расслоении окружностей EMBED Equation.3 индуцируется нормальная связность EMBED Equation.3 , определяемая системой форм EMBED Equation.3 ; форма EMBED Equation.3 определяет подсвязность EMBED Equation.3 связности EMBED Equation.3 . Для каждого соответствующего пространства нормальной связности найдены строения тензоров кривизны-кручения;

– нормальная подсвязность EMBED Equation.3 связности EMBED Equation.3 , индуцируемой нормальным оснащением гиперповерхности EMBED Equation.3 , – плоская (то есть связность EMBED Equation.3 – полуплоская) тогда и только тогда, когда вейлево пространство EMBED Equation.3 является обобщенно римановым с полем метрического тензора EMBED Equation.3 .

При одном частном преобразовании слоевых форм нормальной связности EMBED Equation.3 (тензор EMBED Equation.3 – нулевой) построена нормальная связность EMBED Equation.3 , найдено строение тензора кривизны-кручения соответствующего пространства нормальной связности. Построен охват тензора EMBED Equation.3 , при котором связность EMBED Equation.3 определяется внутренним образом. Доказано (теорема I.15), что при этом охвате связности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , индуцируемые в расслоении окружностей EMBED Equation.3 при нормальном оснащении гиперповерхности EMBED Equation.3 полем квазитензора EMBED Equation.3 , имеют одинаковые тензоры кривизны-кручения тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор EMBED Equation.3 .

Путем общего преобразования слоевых форм нормальной связности EMBED Equation.3 (тензор EMBED Equation.3 – ненулевой), которое возможно лишь при полном оснащении гиперповерхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 , получена другая нормальная связность EMBED Equation.3 .

В главе II рассматриваются две аффинные связности на нормально оснащенной многомерной поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 и получено приложение одной из них к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии EMBED Equation.3 .

В § 1 найдены дифференциальные уравнения EMBED Equation.3 -мерной поверхности конформного пространства. Доказано, что с EMBED Equation.3 -мерной поверхностью EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) EMBED Equation.3 -мерного конформного пространства EMBED Equation.3 инвариантным образом ассоциируется EMBED Equation.3 -мерная гиперполоса кривизны EMBED Equation.3 , для которой исходная поверхность является базисной.

В п. 3 § 1 в третьей дифференциальной окрестности построены 5 полных оснащений многомерной поверхности, определенных внутренним образом. Доказано, что нормальное оснащение поверхности EMBED Equation.3 при отображении Дарбу в пространстве EMBED Equation.3 индуцирует взаимным и двойственным образом нормализованную регулярную EMBED Equation.3 -мерную квадратичную гиперполосу EMBED Equation.3 , для которой базисной поверхностью является образ EMBED Equation.3 подмногообразия EMBED Equation.3 и полем характеристик семейства касательных к EMBED Equation.3 гиперплоскостей в точках EMBED Equation.3 служит поле EMBED Equation.3 -мерных плоскостей EMBED Equation.3 (теорема II.3).

§ 2 главы II посвящен аффинным связностям, индуцируемым нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 . Доказано, что пространство аффинной связности EMBED Equation.3 без кручения, индуцируемое нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 , является вейлевым EMBED Equation.3 с полем метрического тензора EMBED Equation.3 и дополнительной формой EMBED Equation.3 ; это пространство является эквиаффинным, а, следовательно, римановым тогда и только тогда, когда обращается в нуль кососимметричный тензор EMBED Equation.3 (теорема II.4). Для пространства EMBED Equation.3 без кручения найдено строение тензора кривизны. Пространство аффинной связности EMBED Equation.3 , индуцируемое нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 полем любого из квазитензоров EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) третьего порядка, является римановым с полем метрического тензора EMBED Equation.3 .

С помощью преобразования структурных форм EMBED Equation.3 связности EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 получена вторая аффинная связность EMBED Equation.3 , индуцируемая нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 ; найдено строение компонент тензора кривизны-кручения соответствующего пространства EMBED Equation.3 . Доказано, что аффинные связности EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 сопряжены относительно поля симметричного тензора второго порядка EMBED Equation.3 (теорема II.6). Если пространство аффинной связности EMBED Equation.3 – без кручения, то вейлево пространство EMBED Equation.3 является римановым тогда и только тогда, когда пространство EMBED Equation.3 является эквиаффинным (теорема II.7).

§ 3 посвящен приложению аффинной связности EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 к изучению внутренней геометрии сетей, заданных на многомерной поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 .

В п. 1 § 3 приведены дифференциальные уравнения сети EMBED Equation.3 на подмногообразии EMBED Equation.3 , рассмотрены некоторые порождаемые ею инвариантные геометрические образы (псевдофокальные гиперсферы EMBED Equation.3 ортогональной сети, гармонические гиперсферы EMBED Equation.3 ). Доказано, что поле гармонических ( EMBED Equation.3 )-сфер EMBED Equation.3 сети EMBED Equation.3 , заданной на поверхности EMBED Equation.3 , внутренним образом определяет нормальное оснащение поверхности EMBED Equation.3 конформного пространства EMBED Equation.3 (теорема II.9). Найден геометрический смысл гармонических гиперсфер ортогональной сети: каждая из EMBED Equation.3 гармонических гиперсфер EMBED Equation.3 ортогональной сети есть среднее арифметическое псевдофокальных гиперсфер EMBED Equation.3 касательной EMBED Equation.3 к линии EMBED Equation.3 сети.

В п. 2 § 3 найдено необходимое и достаточное условие, при котором поверхность EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), несущая ортогональную сопряженную сеть EMBED Equation.3 , является EMBED Equation.3 -сопряженной системой (теорема II.10).

В п. 3 § 3 изучается сеть линий кривизны на поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 ; приведена геометрическая характеристика главных направлений и линий кривизны на многомерной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 .

В п. 4 § 3 рассмотрено параллельное перенесение направления EMBED Equation.3 касательной к i-й линии ортогональной сети EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3 -мерной поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 вдоль ее j-й линии в аффинной связности EMBED Equation.3 , индуцируемой нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 . Введены в рассмотрение геодезические и чебышевские сети в аффинной связности EMBED Equation.3 , получены аналитические условия, характеризующие эти сети. Доказаны следующие предложения:

– если нормально оснащенная полем квазитензора EMBED Equation.3 поверхность EMBED Equation.3 несет ортогональную геодезическую сеть EMBED Equation.3 в аффинной связности EMBED Equation.3 , то она является сетью с совпавшими псевдофокальными гиперсферами и данное оснащение будет нормальным оснащением полем ее гармонических ( EMBED Equation.3 ) сфер EMBED Equation.3 (теорема II.13);

– если ортогональная сеть EMBED Equation.3 есть сеть с совпавшими псевдофокальными гиперсферами, то при нормальном оснащении поверхности EMBED Equation.3 полем ее гармонических ( EMBED Equation.3 ) сфер EMBED Equation.3 данная сеть является геодезической относительно аффинной связности EMBED Equation.3 (теорема II.14);

– если нормально оснащенная полем квазитензора EMBED Equation.3 поверхность EMBED Equation.3 несет ортогональную чебышевскую сеть EMBED Equation.3 в аффинной связности EMBED Equation.3 , то эта сеть является геодезической, причем данная нормализация будет нормализацией полем гармонических ( EMBED Equation.3 ) сфер EMBED Equation.3 сети.

– поверхность EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) является поверхностью, несущей ортогональную сопряженную чебышевскую сеть EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда она является EMBED Equation.3 -сопряженной системой, несущей геодезическую сеть.

В п. 5 § 3 исследуются ортогональные сопряженные чебышевские сети на поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ), а также приводится частный случай 2-мерной поверхности EMBED Equation.3 .

Доказаны теоремы существования рассмотренных классов сетей (теоремы II.8, II.11, II.17).

Глава III посвящена изучению нормальных и конформных связностей, индуцируемых оснащением многомерной поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 .

В § 1 главы III рассматриваются конформные связности, индуцируемые касательным и полным оснащениями EMBED Equation.3 -мерной поверхности EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 .

В п. 1 § 1 доказано, что инвариантное касательное оснащение поверхности EMBED Equation.3 конформного пространства EMBED Equation.3 полем EMBED Equation.3 -сфер EMBED Equation.3 индуцирует пространство конформной связности EMBED Equation.3 с полем метрического тензора EMBED Equation.3 , определяемое системой EMBED Equation.3 форм Пфаффа; при этом пространство EMBED Equation.3 является эквиконформным, и имеют место аналоги тождеств Риччи (теорема III.1). Найдено строение тензора кривизны – кручения пространства конформной связности EMBED Equation.3 . При перенесении Дарбу пространства EMBED Equation.3 на проективное пространство EMBED Equation.3 все точки каждого слоя пространства конформной связности EMBED Equation.3 отображаются в точки квадрики EMBED Equation.3 , получающейся при пересечении гиперквадрики Дарбу EMBED Equation.3 с полярой EMBED Equation.3 -мерной плоскости EMBED Equation.3 относительно этой гиперквадрики (теорема III.2).

В п.п. 2, 3 § 1 доказано, что инвариантное полное оснащение поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 полями квазитензоров EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 задает нормализацию пространства конформной связности EMBED Equation.3 , определяемую полем EMBED Equation.3 -сфер EMBED Equation.3 (теорема III.3). Если полное оснащение поверхности EMBED Equation.3 является невырожденным (то есть основной тензор EMBED Equation.3 невырожден), то индуцируется второе пространство конформной связности EMBED Equation.3 , метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 (теорема III.4); приведены строения компонент тензора кривизны – кручения пространства EMBED Equation.3 .

В начале § 2 главы III найдены слоевые формы EMBED Equation.3 нормальной связности EMBED Equation.3 , определяемой в расслоении поля EMBED Equation.3 -сфер EMBED Equation.3 при нормальном оснащении поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 полем квазитензора EMBED Equation.3 . Преобразование этих слоевых форм позволяет найти другую нормальную связность EMBED Equation.3 , причем эти преобразования зависят от двух полей тензоров { EMBED Equation.3 } и { EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 }.

При EMBED Equation.3 =0, EMBED Equation.3 нормальную связность EMBED Equation.3 обозначим через EMBED Equation.3 , при EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 связность EMBED Equation.3 обозначим EMBED Equation.3 . В каждом из этих случаев найдены строения компонент тензоров кривизны – кручения соответствующих пространств нормальной связности.

В п. 1 § 2 доказаны следующие предложения:

– если нормальная подсвязность EMBED Equation.3 связности EMBED Equation.3 , индуцируемая нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 , – плоская (то есть EMBED Equation.3 – полуплоская), то вейлево пространство EMBED Equation.3 – риманово; при EMBED Equation.3 утверждение имеет и обратную силу (теорема III.6);

– если нормальная подсвязность EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) связности EMBED Equation.3 , индуцируемая нормальным оснащением многомерной поверхности EMBED Equation.3 , – плоская (полуплоская), то вейлево пространство EMBED Equation.3 – риманово; при EMBED Equation.3 утверждение имеет и обратную силу;

– при EMBED Equation.3 нормальная подсвязность EMBED Equation.3 – плоская (то есть связность EMBED Equation.3 – полуплоская), если поверхность EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 оснащена полем любого из квазитензоров EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) третьего порядка;

– при EMBED Equation.3 нормальная подсвязность EMBED Equation.3 – плоская (то есть связность EMBED Equation.3 – полуплоская), если поверхность EMBED Equation.3 нормально оснащена полем любого из квазитензоров EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) 3-го порядка.

В п. 2 § 2 построен охват тензора EMBED Equation.3 , при котором нормальная связность EMBED Equation.3 определяется внутренним образом.

В п. 3 § 2 доказано, что нормальная связность EMBED Equation.3 , индуцируемая полным оснащением многомерной поверхности EMBED Equation.3 ( EMBED Equation.3 ) с заданным на ней полем ненулевого тензора EMBED Equation.3 с нулевыми компонентами EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 , допускающим обращение в нуль тензора EMBED Equation.3 , является плоской тогда и только тогда, когда она полуплоская (теорема III.9). Построен охват тензора EMBED Equation.3 , при котором нормальная связность EMBED Equation.3 определяется внутренним образом.

В § 3 главы III нормальные связности EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 рассмотрены на регулярной квадратичной гиперполосе EMBED Equation.3 в проективном пространстве EMBED Equation.3 , ассоциированной с многомерной поверхностью EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 .

В п. 1 § 3 в нормали первого рода EMBED Equation.3 гиперполосы EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 найдена инвариантная прямая EMBED Equation.3 , внутренним образом определяемая во второй дифференциальной окрестности.

В п. 2 § 3 найдено условие параллельности поля направлений EMBED Equation.3 , принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 , в нормальной связности EMBED Equation.3 при смещении вдоль любой кривой, принадлежащей поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 . Доказаны следующие предложения:

– при любом нормальном оснащении поверхности EMBED Equation.3 поле 2-мерных характеристик EMBED Equation.3 гиперполосы EMBED Equation.3 параллельно переносится в нормальной связности EMBED Equation.3 (теорема III.10); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема III.10*): при любом нормальном оснащении поверхности EMBED Equation.3 поле 2-параметрической связки касательных гиперсфер EMBED Equation.3 подмногообразия EMBED Equation.3 параллельно переносится в нормальной связности EMBED Equation.3 ;

– поле инвариантных прямых EMBED Equation.3 на гиперполосе EMBED Equation.3 , определяемое полем квазитензора EMBED Equation.3 , является параллельным в нормальной связности EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда тензор EMBED Equation.3 обращается в нуль (теорема III.11); это утверждение сформулировано на языке конформного пространства (теорема III.11*): поле инвариантных связок касающихся между собой в точках EMBED Equation.3 гиперсфер EMBED Equation.3 , определяемое полем квазитензора EMBED Equation.3 , является параллельным в нормальной связности EMBED Equation.3 тогда и только тогда, когда тензор EMBED Equation.3 обращается в нуль.

Условие параллельности поля направлений EMBED Equation.3 , принадлежащего полю нормалей первого рода квадратичной гиперполосы EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 , записано также относительно нормальных связностей EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 ; для этих связностей справедливы аналоги теорем III.10, III.11.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ,

ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1. В разных дифференциальных окрестностях построены инвариантные внутренним образом определяемые оснащения гиперповерхности EMBED Equation.3 в пространстве конформной связности EMBED Equation.3 и многомерной поверхности EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 в конформном пространстве EMBED Equation.3 .

2. Построены основы теории линейных связностей (аффинных, нормальных и конформных), индуцируемых различными оснащениями гиперповерхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 -мерной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 ; в частности:

– доказано, что аффинная связность EMBED Equation.3 , индуцируемая нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 , является вейлевой, найдено условие, при котором она является римановой; получена вторая аффинная связность EMBED Equation.3 , индуцируемая тем же нормальным оснащением поверхности EMBED Equation.3 ;

– касательное оснащение многомерной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 индуцирует пространство конформной связности EMBED Equation.3 с полем метрического тензора EMBED Equation.3 ; оно является эквиконформным и выполняются аналоги тождеств Риччи;

– невырожденное полное оснащение EMBED Equation.3 -мерной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 индуцирует второе пространство конформной связности EMBED Equation.3 , метрический тензор которого совпадает с метрическим тензором EMBED Equation.3 пространства EMBED Equation.3 ;

– при EMBED Equation.3 найдены условия, при которых нормальные связности EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 на вполне оснащенной поверхности EMBED Equation.3 в EMBED Equation.3 являются полуплоскими;

– получены условия параллельности гладкого поля направлений в нормальных связностях EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 .

3. Найдено приложение аффинной связности EMBED Equation.3 к изучению внутренней геометрии сетей на подмногообразии EMBED Equation.3 .

Список литературы

Акивис М. А. Инвариантное построение геометрии гиперповерхности конформного пространства / М. А. Акивис // Матем. сб. – М., 1952. – Т. 31. – № 1. – С. 43–75.

Акивис М. А. К конформно-дифференциальной геометрии многомерных поверхностей / М. А. Акивис // Матем. сб. – М., 1961. – Т. 53. – № 1. – С. 53–72.

Бушманова Г. В. Элементы конформной геометрии / Г. В. Бушманова, А. П. Норден. – Казань : Изд-во Казанск. ун-та, 1972. – 178 с.

Вагнер В. В. Теория составного многообразия / В. В. Вагнер // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. – М. : МГУ, 1950. – Вып. 8. – С. 11–72.

Лаптев Г. Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий / Г. Ф. Лаптев // Труды Моск. матем. о-ва : сб. ст. – 1953. – Т. 2. – С. 275–382.

Лаптев Г. Ф. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований / Г. Ф. Лаптев // Труды 3-го Всес. матем. съезда. – М., 1958. – Т. 3. – С. 409–418.

Матвеева А. М. Линейные связности на оснащенном распределении гиперплоскостных элементов в конформном пространстве / А. М. Матвеева // Известия вузов. Матем. – Казань, 2008. – № 7. – С. 79–84.

Михайлова А. Н. Линейные связности на частично оснащенной гиперполосе конформного пространства / А. Н. Михайлова // ВИНИТИ РАН. – М., 2001. – № 719. – В2001. – 19 с.

Норден А. П. О нормализованных поверхностях конформного пространства / А. П. Норден // Изв. АН СССР. Сер. Матем. – 1950. – Т. 14. – № 2. – С. 105–122.

Норден А. П. Пространства аффинной связности / А. П. Норден. – М.: Наука, 1976. – 432 с.

Парнасский И. В. Связность на m-поверхностях полуконформного пространства / И. В. Парнасский // В сб. «Геометрия». –Л., 1976. – Вып. 5.– С. 95−100.

Розенфельд Б. А. Дифференциальная геометрия образов симметрии / Б. А. Розенфельд // ДАН СССР. – 1948. – Т. 59. – № 6. – С. 1057–1060.

Столяров А. В. Теоретико-групповой метод дифференциально-геометрических исследований и его приложения / А. В. Столяров. – Чебоксары: Чуваш. гос. пед. ун-т, 2002. – 204 с.

Столяров А. В. Конформно-дифференциальная геометрия оснащенных многообразий / А. В. Столяров, Т. Н. Глухова. – Чебоксары : Чуваш. гос. пед. ун-т, 2007. – 180 с.

Третьяков В. Д. К вопросу о гармонических нормализациях поверхностей в конформно-евклидовых пространствах / В. Д. Третьяков // Волжск. матем. сб. – 1968. – Вып. 6. – С. 247−253.

Филоненко Л. Ф. Распределение m-мерных линейных элементов в конформном пространстве и присоединенные к нему связности / Л. Ф. Филоненко // Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. науч. тр. – Калининград, 1995. – Вып. 26. – С. 89–102.

Фиников С. П. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии / С. П. Фиников. – М.-Л. : ГИТТЛ, 1948. – 432 с.

Чакмазян А. В. Подмногообразия проективного пространства с параллельным подрасслоением нормального расслоения / А. В. Чакмазян / Казанское мат. об-во. 150 лет неевклидовой геометрии // Материалы Всес. геометр. конференции. – Казань, 1976. – С. 209.

Чакмазян А. В. Нормальная связность в геометрии подмногообразий: Монография / А. В. Чакмазян. – Ереван : Армянск. пед. ин-т, 1990. – 116 с.

Cartan E. Les éspaces á connexion conforme / E. Cartan // Ann. Soc. Polon. math. – 1923. – 2. – P. 171–211.

Ehresmann C. Les connections infinitesimales dans un espace fibre differentiable / C. Ehresmann // Collque de Topologie. – Bruxelles, 1950. – P. 29–55.

Fialkov A. Conformal differential geometry of a subspace / A. Fialkov // Trans, Amer. Math. Soc. – 1944. – 56. – 309–433.

Levi-Civita T. Nozioni di parallelismo in una varieta qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvature Riemanniana / T. Levi-Civita // Rend. circ. Matem. – Palermo, 1917. – P. 173–205.

Thomsen G. Űber konforme Geometrie I. Grundlagen der konformen Flachentheorie / G. Thomsen //Abhandl math. Semin. Univ. – Humburg, 1924. – 3. – P. 31–56.

Weyl H. Raum. Zeit, Materie. – Berlin : Springer, 1923.

Yano K. Sur les equation de Gaúss dans la géometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. – 1939. – 15. – 247–252.

Yano K. Sur les equation de Codazzi dans la géometrie conforme des espaces de Riemann / K. Yano // Proc. Imp. Akad. Japan. – 1939. – 15. – 340–344.

РАБОТЫ АВТОРА, ОПУБЛИКОВАННЫЕ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 14 с. – № 144 – В2009Деп.

Зверева Т. В. Конформные связности, индуцируемые касательным оснащением гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 12 с. – № 231 – В2009Деп.

Зверева Т. В. Нормальные связности на гиперповерхности в пространстве конформной связности / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 10 с. – № 331 – В2009Деп.

Зверева Т. В. Аффинные связности на нормально оснащенной гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Сборник тезисов докладов участников XXIV Всероссийской конференции обучающихся «Национальное достояние России». – Минобрнауки РФ, Рособразование, РОСКОСМОС, РАО, НС «ИНТЕГРАЦИЯ», 2009. – С. 725.

Зверева Т. В. Аффинные связности на гиперповерхности пространства конформной связности / Т. В. Зверева // Материалы XLVII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. – Новосибирск, 2009. – С. 96–97.

Зверева Т. В. Гиперполоса, ассоциированная с т-мерной поверхностью конформного пространства / Т. В. Зверева // Актуальные проблемы современной науки: труды 10-й международной конференции молодых ученых и студентов. Естественные науки. Части 1-3: Математика. Математическое моделирование. Механика. – Самара: Изд-во СамГТУ, 2010. – С. 102–106.

Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые нормальным оснащением гиперповерхности EMBED Equation.3 / Т. В. Зверева // Научно-информационный вестник докторантов, аспирантов, студентов. – Чебоксары: ЧГПУ им. И. Я. Яковлева. – 2009. – №1(13). – С. 8–15.

Зверева Т. В. Аффинные связности, индуцируемые нормальным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Труды Матем-го центра им. Н. И. Лобачевского: Материалы Восьмой молодежной школы-конференции «Лобачевские чтения – 2009»; Казань 1 – 6 ноября 2009 г. – Казань: Казан. мат. об-во. – 2009. – Т. 39. – С. 228 – 230.

Зверева Т. В. Сети на поверхностях в конформном пространстве / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2009. – 24 с. – № 722 – В2009Деп.

Зверева Т. В. Конформные связности на касательно оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Фундаментальные науки и образование: материалы III Всероссийской научно-практической конференции (Бийск, 31 января – 3 февраля 2010 г.) / Бийский пед. гос. ун-т им. В. М. Шукшина. – Бийск: БПГУ им. В. М. Шукшина. – 2010. – С. 57 – 64.

Зверева Т. В. Внутренняя геометрия сетей на многомерной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Известия вузов. Матем. – Казань, 2010. – № 5. – С. 83–87.

Зверева Т. В. О нормальной связности на оснащенной поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Материалы XLVIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика. – Новосибирск, 2010. – С. –.

Зверева Т. В. Связности, индуцируемые касательным оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // Сборник материалов I Международной научно-практической конференции «Наука и современность – 2010». В 3-х частях. Часть 2. – Новосибирск: Изд-во «СИБПРИНТ», 2010. – С. 150 – 154.

Зверева Т. В. Нормальные связности, индуцируемые оснащением поверхности конформного пространства / Т. В. Зверева // ВИНИТИ РАН. – М., 2010. – 22 с. – № 236 – В2010Деп.

Зверева Т. В. Аффинная связность и ее приложение к изучению внутренней геометрии сетей на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. – Чебоксары. – 2011. – № 2 (70). – Ч. 1. – С. 33 – 37.

Зверева Т. В. О направлениях, параллельно переносимых в нормальных связностях на поверхности в конформном пространстве / Т. В. Зверева // Вестник Чувашского государственного педагогического университета имени И. Я. Яковлева. – Чебоксары. – 2011. – № 2 (70). – Ч. 1. – С. 38 – 41.

Zvereva T. Translated directions in the normal connection on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Тезисы докладов международной конференции «Геометрия в Одессе – 2010». – Одесса. – 2010. – С. 95.

ZverevaT. Translated directions on the surface of the conformal space / T. Zvereva // Geometry, topology, algebra and number theory, applications. The international conference dedicated to the 120th anniversary of B. N. Delone. Abstracts, august 16-20, 2010. – Moscow. – 2010. – p. 81.

Подписано к печати ______________ . Формат 60×84 / 16.

Бумага ксероксная. Печать трафаретная.

Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ ____ .

Отдел оперативной полиграфии

Чувашского государственного педагогического университета

428000, г. Чебоксары, ул. К. Маркса, 38.

PAGE

PAGE 4