С. М. Горский Научный руководительк ф. м н

Министерство образования Республики Беларусь

Учреждение образования

«Гомельский государственный университет

имени Франциска Скорины»

Математический факультет

Кафедра алгебры и геометрии

Допущена к защите

Зав. кафедрой Шеметков Л.А.

« 2008 г.

Тригонометрические уравнения и неравенства

Курсовая работа

Исполнитель:

студент группы М-51

С.М. Горский

Научный руководительк.ф.- м.н.,

старший преподаватель

В.Г. Сафонов

Гомель 2008

Оглавление

ВВЕДЕНИЕ

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Введение вспомогательного аргумента

Схема решения тригонометрических уравнений

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Разложение на множители

Решение уравнений преобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

Решение уравнений с применением формул понижения степени

Решение уравнений с применением формул тройного аргумента

Равенство одноименных тригонометрических функций

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

НЕСТАНДАРТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Использование ограниченности функций

Функциональные методы решения тригонометрических и комбинированных уравнений

Решение с исследованием функции

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА

Решение тригонометрических неравенств с помощью единичной окружности

Решение тригонометрических неравенств графическим методом

ОТБОР КОРНЕЙ

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

ВВЕДЕНИЕ

В древности тригонометрия возникла в связи с потребностями астрономии, землемерия и строительного дела, то есть носила чисто геометрический характер и представляла главным образом <<исчисление хорд>>. Со временем в нее начали вкрапляться некоторые аналитические моменты. В первой половине 18-го века произошел резкий перелом, после чего тригонометрия приняла новое направление и сместилась в сторону математического анализа. Именно в это время тригонометрические зависимости стали рассматриваться как функции.

Тригонометрические уравнения одна из самых сложных тем в школьном курсе математики. Тригонометрические уравнения возникают при решении задач по планиметрии, стереометрии, астрономии, физики и в других областях. Тригонометрические уравнения и неравенства из года в год встречаются среди заданий централизованного тестирования.

Самое важное отличие тригонометрических уравнений от алгебраических состоит в том, что в алгебраических уравнениях конечное число корней, а в тригонометрических — бесконечное, что сильно усложняет отбор корней. Еще одной спецификой тригонометрических уравнений является неединственность формы записи ответа.

Данная дипломная работа посвящена методам решения тригонометрических уравнений и неравенств.

Дипломная работа состоит из 6 разделов.

В первом разделе приведены основные теоретические сведения: определение и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций; таблица значений тригонометрических функций для некоторых аргументов; выражение тригонометрических функций через другие тригонометрических функции, что очень важно для преобразования тригонометрических выражений, в особенности содержащих обратные тригонометрические функции; кроме основных тригонометрических формул, хорошо известных из школьного курса, приведены формулы упрощающие выражения, содержащие обратные тригонометрические функции.

Во втором разделе изложены основные методы решения тригонометрических уравнений. Рассмотрены решение элементарных тригонометрических уравнений, метод разложения на множители, методы сведения тригонометрических уравнений к алгебраическим. Ввиду того, что решения тригонометрических уравнений можно записать несколькими способами, и вид этих решений не позволяет сразу установить, являются ли эти решения одинаковыми или различными, что может <<сбить с толку>> при решении тестов, рассмотрена общая схема решения тригонометрических уравнений и подробно рассмотрено преобразование групп общих решений тригонометрических уравнений.

В третьем разделе рассматриваются нестандартные тригонометрические уравнения, решения которых основано на функциональном подходе.

В четвертом разделе рассматриваются тригонометрические неравенства. Подробно рассмотрены методы решения элементарных тригонометрических неравенств, как на единичной окружности, так и графическим методом. Описан процесс решения неэлементарных тригонометрических неравенств через элементарные неравенства и уже хорошо известный школьникам метод интервалов.

В пятом разделе представлены наиболее сложные задания: когда необходимо не только решить тригонометрическое уравнение, но и из найденных корней отобрать корни, удовлетворяющие какому-нибудь условию. В данном разделе приведены решения типичных заданий на отбор корней. Приведены необходимые теоретических сведения для отбора корней: разбиение множества целых чисел на непересекающиеся подмножества, решение уравнений в целых числах (диафантовых).

В шестом разделе представлены задачи для самостоятельного решения, оформленные в виде теста. В 20 заданиях теста приведены наиболее сложные задания, которые могут встретиться на централизованном тестировании.

ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Элементарные тригонометрические уравнения

Элементарные тригонометрические уравнения — это уравнения вида EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3 — одна из тригонометрических функций: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Элементарные тригонометрические уравнения имеют бесконечно много корней. Например, уравнению EMBED Equation.3 удовлетворяют следующие значения: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 и т. д. Общая формула по которой находятся все корни уравнения EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3, такова:

EMBED Equation.3

Здесь EMBED Equation.3 может принимать любые целые значения, каждому из них соответствует определенный корень уравнения; в этой формуле (равно как и в других формулах, по которым решаются элементарные тригонометрические уравнения) EMBED Equation.3 называют параметром. Записывают обычно EMBED Equation.3, подчеркивая тем самым, что параметр EMBED Equation.3 принимать любые целые значения.

Решения уравнения EMBED Equation.3, где EMBED Equation.3, находятся по формуле

EMBED Equation.3

Уравнение EMBED Equation.3 решается применяя формулу

EMBED Equation.3

а уравнение EMBED Equation.3 — по формуле

EMBED Equation.3

Особо отметим некоторые частные случаи элементраных тригонометрических уравнений, когда решение может быть записано без применения общих формул:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

При решении тригонометрических уравнений важную роль играет период тригонометрических функций. Поэтому приведем две полезные теоремы:

Теорема SEQ Theorem \* ARABIC Если EMBED Equation.3 — основной период функции EMBED Equation.3, то число EMBED Equation.3 является основным периодом функции EMBED Equation.3.

Периоды функций EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 называются соизмеримыми, если существуют натуральные числа EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, что EMBED Equation.3.

Теорема SEQ Theorem \* ARABIC Если периодические функции EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, имеют соизмеримые EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3, то они имеют общий период EMBED Equation.3, который является периодом функций EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

В теореме говорится о том, что EMBED Equation.3 является периодом функции EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, и не обязательно является основным периодом. Например, основной период функций EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 — EMBED Equation.3, а основной период их произведения — EMBED Equation.3.

Введение вспомогательного аргумента

Стандартным путем преобразования выражений вида EMBED Equation.3 является следующий прием: пусть EMBED Equation.3 — угол, задаваемый равенствами EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. Для любых EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 такой угол существует. Таким образом EMBED Equation.3. Если EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, в других случаях EMBED Equation.3.

Схема решения тригонометрических уравнений

Основная схема, которой мы будем руководствоваться при решении тригонометрических уравнений следующая:

решение заданного уравнения сводится к решению элементарных уравнений. Средства решения — преобразования, разложения на множители, замена неизвестных. Ведущий принцип — не терять корней. Это означает, что при переходе к следующему уравнению (уравнениям) мы не опасаемся появления лишних (посторонних) корней, а заботимся лишь о том, чтобы каждое последующее уравнение нашей «цепочки» (или совокупность уравнений в случае ветвления) являлось следствием предыдущего. Одним из возможных методов отбора корней является проверка. Сразу заметим, что в случае тригонометрических уравнений трудности, связанные с отбором корней, с проверкой, как правило, резко возрастают по сравнению с алгебраическими уравнениями. Ведь проверять приходится серии, состоящие из бесконечного числа членов.

Особо следует сказать о замене неизвестных при решении тригонометрических уравнений. В большинстве случаев после нужной замены получается алгебраическое уравнение. Более того, не так уж и редки уравнения, которые, хотя и являются тригонометрическими по внешнему виду, по существу таковыми не являются, поскольку уже после первого шага — замены переменных — превращаются в алгебраические, а возращение к тригонометрии происходит лишь на этапе решения элементарных тригонометрических уравнений.

Еще раз напомним: замену неизвестного следует делать при первой возможности, получившееся после замены уравнение необходимо решить до конца, включая этап отбора корней, а уж затем возвратится к первоначальному неизвестному.

Одна из особенностей тригонометрических уравнений заключается в том, что ответ во многих случаях может быть записан различными способами. Даже для решения уравнения EMBED Equation.3 ответ может быть записан следующим образом:

1) в виде двух серий: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3;

2) в стандартной форме представляющей собой объединение указанных выше серий: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3;

3) поскольку EMBED Equation.3, то ответ можно записать в виде EMBED Equation.3, EMBED Equation.3. (В дальнейшем наличие параметра EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 или EMBED Equation.3 в записи ответа автоматически означает, что этот параметр принимает всевозможные целочисленные значения. Исключения будут оговариваться.)

Очевидно, что тремя перечисленными случаями не исчерпываются все возможности для записи ответа рассматриваемого уравнения (их бесконечно много).

Например, при EMBED Equation.3 справедливо равенство EMBED Equation.3. Следовательно, в двух первых случаях, если EMBED Equation.3, мы можем заменить EMBED Equation.3 на EMBED Equation.3.

Обычно ответ записывается на основании пункта 2. Полезно запомнить следующую рекомендацию: если на решении уравнения EMBED Equation.3 работа не заканчивается, необходимо еще провести исследование, отбор корней, то наиболее удобна форма записи, указанная в пункте 1. (Аналогичную рекомендацию следует дать и для уравнения EMBED Equation.3.)

Рассмотрим пример иллюстрирующий сказанное.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Наиболее очевидным является следующий путь. Данное уравнение распадается на два: EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3. Решая каждое из них и объединяя полученные ответы, найдем EMBED Equation.3.

Другой путь. Поскольку EMBED Equation.3, то, заменяя EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 по формулам понижения степени. После небольших преобразований получим EMBED Equation.3, откуда EMBED Equation.3.

На первый взгляд никаких особых преимуществ у второй формулы по сравнению с первой нет. Однако, если возьмем, например, EMBED Equation.3, то окажется, что EMBED Equation.3, т.е. уравнение EMBED Equation.3 имеет решение EMBED Equation.3, в то время как первый способ нас приводит к ответу EMBED Equation.3. «Увидеть» и доказать равенство EMBED Equation.3 не так просто.

Ответ. EMBED Equation.3.

Преобразование и объединение групп общих решений тригонометрических уравнений

Будем рассматривать арифметическую прогрессию, бесконечно простирающуюся в обе стороны. Члены этой прогресссии можно разбить на две группы членов, располагающиеся вправо и влево от некоторого члена, называемого центральным или нулевым членом прогрессии.

Фиксируя один из членов бесконечной прогрессиии нулевым номером, мы должны будем вести двойную нумерацию для всех оставшихся членов: положительную для членов, расположенных вправо, и отрицательную для членов, расположенных влево от нулевого.

В общем случае, если разность прогрессии EMBED Equation.3, нулевой член EMBED Equation.3, формула для любого (EMBED Equation.3-го) члена бесконечной арифметической прогрессии представляет вид:

EMBED Equation.3

Преобразования формулы для любого члена бесконечной арифметической прогрессии

1. Если к нулевому члену EMBED Equation.3 прибавить или отнять разность прогрессии EMBED Equation.3, то от этого прогрессия не изменится, а только переместится нулевой член, т.е. изменится нумерация членов.

2. Если коэффициент при переменной величине EMBED Equation.3 умножить на EMBED Equation.3, то от этого произойдет лишь перестановка правой и левой групп членов.

3. Если EMBED Equation.3 последовательных членов бесконечной прогрессии

EMBED Equation.3

например EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, …, EMBED Equation.3, сделать центральными членами EMBED Equation.3 прогрессий с одинаковой разностью, равной EMBED Equation.3:

EMBED Equation.3

то прогрессия GOTOBUTTON GEQ152 REF GEQ152 \* MERGEFORMAT (??) и ряд прогрессий GOTOBUTTON GEQ153 REF GEQ153 \* MERGEFORMAT (??) выражают собой одни и те же числа.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Ряд EMBED Equation.3 может быть заменен следующими тремя рядами: EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

4. Если EMBED Equation.3 бесконечных прогрессий с одинаковой разностью EMBED Equation.3 имеют центральными членами числа, образующие арифметическую прогрессию с разностью EMBED Equation.3, то эти EMBED Equation.3 рядов могут быть заменены одной прогрессией с разностью EMBED Equation.3, и с центральным членом, равным любому из центральных членов данных прогрессий, т.е. если

EMBED Equation.3

то эти EMBED Equation.3 прогрессий объединяются в одну: EMBED Equation.3

Пример SEQ Theorem \* ARABIC EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3, EMBED Equation.3 обе объединяются в одну группу EMBED Equation.3, так как EMBED Equation.3.

Для преобразования групп, имеющих общие решения, в группы, общих решений не имеющие данные группы разлагают на группы с общим периодом, а затем стремяться объединить получившиеся группы, исключив повторяющиеся.

Разложение на множители

Метод разложения на множетели заключается в следующем: если

EMBED Equation.3

то всякое решение уравнения

EMBED Equation.3

является решение совокупности уравнений

EMBED Equation.3 MACROBUTTON GrindEQ.reference.UpdateGrindeqFields SEQ GrindEQeq \h ( SEQ GrindEQeq \c ??)

Обратное утверждение, вообще говоря неверно: не всякое решение совокупности является решением уравнения. Это объясняется тем, что решения отдельных уравнений GOTOBUTTON GEQ155 REF GEQ155 \* MERGEFORMAT (??) могут не входить в область определения функции EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Используя основное тригонометрическое тождество, уравнение представим в виде EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3; EMBED Equation.3.

Преобразование суммы тригонометрических функций в произведение

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Применим формулу GOTOBUTTON GEQ129 REF GEQ129 \* MERGEFORMAT (??), получим равносильное уравнение

EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. В данном случае, прежде чем применять формулы суммы тригонометрических функций, следует использовать формулу приведения EMBED Equation.3. В итоге получим равносильное уравнение

EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Решение уравнений приобразованием произведения тригонометрических функций в сумму

При решении ряда уравнений применяются формулы.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3

Решение. Применив формулу GOTOBUTTON GEQ135 REF GEQ135 \* MERGEFORMAT (??), получим равносильное уравнение:

EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Применив формулу GOTOBUTTON GEQ134 REF GEQ134 \* MERGEFORMAT (??), получим равносильное уравнение:

EMBED Equation.3.

Ответ. EMBED Equation.3.

Решение уравнений с применением формул понижения степени

При решении широкого круга тригонометрических уравнений ключевую роль играют формулы.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Применяя формулу, получим равносильное уравнение.

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3.

Ответ. EMBED Equation.3; EMBED Equation.3.

Решение уравнений с примененнием формул тройного аргумента

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Применим формулу GOTOBUTTON GEQ116 REF GEQ116 \* MERGEFORMAT (??), получим уравнение

EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3; EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Применим формулы понижения степени получим: EMBED Equation.3. Применяя GOTOBUTTON GEQ116 REF GEQ116 \* MERGEFORMAT (??) получаем:

EMBED Equation.3.

Ответ. EMBED Equation.3; EMBED Equation.3.

Равенство одноименных тригонометрических функций

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3, EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Решить уравнение EMBED Equation.3.

Решение. Преобразуем уравнение. EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3.

Пример SEQ Theorem \* ARABIC Известно, что EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 удовлетворяют уравнению

EMBED Equation.3

Найти сумму EMBED Equation.3.

Решение. Из уравнения следует, что

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Ответ. EMBED Equation.3.

Домножение на некоторую тригонометрическую функцию

Рассмотрим суммы вида

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Данные суммы можно преобразовать в произведение, домножив и разделив их на EMBED Equation.3, тогда получим

EMBED Equation.3

Указанный прием может быть использован при решении некоторых тригонометрических уравнений, однако следует иметь в виду, что в результате возможно появление посторонних корней. Приведем обобщение данных формул:

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст