Реферата по математической статистике

Методический материал для выполнения реферата по математической статистике

Часть I. Моделирование выборки

Из таблицы случайных чисел выбираем 51 значение: EMBED Equation.3 (2 блока + 1 число). Имеем равномерное распределение на промежутке (0;1).

По рекуррентной формуле получаем новые значения (стандартное нормальное распределение):

EMBED Equation.3

Задаем два числа, это условие: “ m= ” “σ= ” (σ>0).

Впоследствии: m – это математическое ожидание Х, а EMBED Equation.3 — это дисперсия Х.

Наша выборка: EMBED Equation.3 ,где i=1,2,…,50. Х – генеральная совокупность

Контроль: по выборке необходимо вычислить:

EMBED Equation.3 — выборочное среднее

EMBED Equation.3 — выборочная дисперсия

EMBED Equation.3 (исправленная дисперсия) [ EMBED Equation.3 ]

EMBED Equation.3 -центрированная дисперсия

Если EMBED Equation.3 , то можно продолжать работу. В противном случае, необходимо заменить начальные значения.

Часть II. Обработка выборки. Группированный статистический ряд

Составляем вариационный ряд

Находим медиану. В нашем случае – это среднее арифметическое 25го и 26го членов вариационного ряда.

Находим размах выборки: EMBED Equation.3

Отрезок [ EMBED Equation.3 ] делим на «k» равных частей. [k=1+3,31*lg(n)] [k=8 в нашем случае]

Длина каждого интервала: EMBED Equation.3

Найдите середины интервалов: EMBED Equation.3

Разделите вариационный ряд в соответствии с границами интервалов и определите частоту (абсолютную) попаданий значений Х в соответствующие интервалы.

Заполните следующую таблицу (группированный статистический ряд)

N

Интервал

штрихи

Ni(абс.частота)

Zi(серед.инт)

Pi*(отн.част.)

Накопл. Част.

1

[Xmin;a1)

||

n1

z1

EMBED Equation.3

2

[a1;a2)

||

n2

z2

EMBED Equation.3

3

[a2;a3)

||||||

n3

z3

EMBED Equation.3

4

[a3;a4)

||||||||||

n4

z4

5

6

7

8

[a7;Xmax)

||

n8

z8

1

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Статистический ряд

ZiZ1z2z3z4z5z6z7z8Pi* EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Определяем моду: EMBED Equation.3

Полигон частот:

Статистическая функция распределения: EMBED Equation.3

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 -приближенная функция распределения исследуемой генеральной совокупности Х

Гистограмма выборки (оценка кривой функции плотности генеральной совокупности Х). Строим дополнительную таблицу:

N12345678Hi=Pi*/Δ

Высота прямоугольника EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Часть III. Вычисление выборочных характеристик

Линейное преобразование выборки.

Введем новую случайную величину: EMBED Equation.3 . Пусть Мо= EMBED Equation.3 (например, k=5).

z1z2z3z4z5z6z7z8 EMBED Equation.3 -4-3-2-10123 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 Замечание: EMBED Equation.3

Вычисление выборочного среднего: EMBED Equation.3

Необходимо сравнить EMBED Equation.3 с первоначальным вычислением по всей выборке.

Вычисление выборочных дисперсий: EMBED Equation.3 :

Выборочная дисперсия генеральной совокупности Х: EMBED Equation.3 — сравнить с числом EMBED Equation.3

Исправленная выборочная дисперсия: EMBED Equation.3

Центрированная выборочная дисперсия: EMBED Equation.3 — раньше была

Вычисление выборочного С.К.О.: EMBED Equation.3

Результаты занести в таблицу:

Числовые характеристики

По выборке

По группированной выборке

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Глава IV. Построение доверительных интервалов

Построение доверительного интервала для математического ожидания при известной дисперсии.

Дано:

EMBED Equation.3 нормальное распределение.

EMBED Equation.3 ; n=50; EMBED Equation.3

Доверительная вероятность: EMBED Equation.3

Построить доверительный интервал для математического ожидания: EMBED Equation.3

Решение:

Рассмотрим стандартную нормальную величину : EMBED Equation.3 ; U∈N(0;1).

Рассмотрим квантиль порядка EMBED Equation.3 [значение функции распределения СВ U при х = EMBED Equation.3 равно вероятности 1-α/2, т.е. F( EMBED Equation.3 )=1-α/2 ]

EMBED Equation.3

Примечание: Поставьте вопрос: Каким должен быть объем выборки n, чтобы

EMBED Equation.3

Решение: EMBED Equation.3

Построение доверительного интервала для математического ожидания при неизвестной дисперсии

Дано:

EMBED Equation.3 нормальное распределение.

Т.к σ неизвестна, то используем исправленную S; n=50; EMBED Equation.3

Доверительная вероятность: EMBED Equation.3

Построить доверительный интервал для математического ожидания: EMBED Equation.3

Решение:

Рассмотрим случайную величину EMBED Equation.3 — распределение Стьюдента, число степеней свободы k=n-1.

Обозначим EMBED Equation.3 — квантиль порядка 1-α/2.

EMBED Equation.3

Построение доверительного интервала для дисперсии, при условии, что математическое ожидание известно

Дано:

EMBED Equation.3 нормальное распределение.

m – смотри условие; n=50; EMBED Equation.3

Доверительная вероятность: EMBED Equation.3

Найти доверительный интервал для дисперсии: EMBED Equation.3

Решение:

Рассмотрим случайную величину: EMBED Equation.3 (n степеней свободы)

По таблице квантилей распределения найдем квантили: EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Построение доверительного интервала для дисперсии при неизвестном математическом ожидании.

Дано:

EMBED Equation.3 нормальное распределение.

N=50; EMBED Equation.3 (исправленная дисперсия)

Доверительная вероятность: EMBED Equation.3

Найти доверительный интервал для дисперсии: EMBED Equation.3

Решение:

Рассмотрим случайную величину EMBED Equation.3 с (n-1) степенями свободы; k=n-1=49.

По таблице квантилей распределения найдем квантили: EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

Часть V. Проверка статистических гипотез. Критерий значимости

Задача 1. Проверка гипотезы о значении математического ожидания при известном σ

Дано:

X∈N(m;σ) – нормальное распределение

EMBED Equation.3 (смотри условие); EMBED Equation.3

α — уровень значимости [α=0,1]

Ho – Нулевая гипотеза — EMBED Equation.3

H1(1) – Альтернативная гипотеза (двусторонняя) — EMBED Equation.3

Также нужно выбрать одну из односторонних гипотез, а именно: Если EMBED Equation.3 то имеем правостороннюю гипотезу H1(2) — EMBED Equation.3 . Если EMBED Equation.3 то имеем левостороннюю гипотезу H1(3) — EMBED Equation.3

Решение:

Статистика критерия: EMBED Equation.3 — стандартно распределенная случайная величина

Вычислим выборочное значение этой величины, используя условие задачи: EMBED Equation.3

Строим критическую область :

Для двусторонней гипотезы H1(1) : EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3

Заметим, что критические точки области, это: EMBED Equation.3 квантили порядка 0,95.

Правила принятия решения: Если EMBED Equation.3 то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем.

Для правосторонней гипотезы H1(2): EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3

Правило принятия решения: Если выборочное значение EMBED Equation.3 (квантиль порядка 0,9), то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем.

Для левосторонней гипотезы H1(3): EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 .

Правило принятия решения: Если EMBED Equation.3 , то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем.

Задача №2. Проверка гипотезы о значении математического ожидания (генеральной средней) при неизвестном σ

Дано:

X∈N(m;σ) – нормальное распределение

EMBED Equation.3

α — уровень значимости [α=0,1]

Нулевая гипотеза : Но: EMBED Equation.3

Альтернативные гипотезы:

H1(1): EMBED Equation.3 (двусторонняя)

H1(2): EMBED Equation.3 (правосторонняя, если EMBED Equation.3 )

H1(3): EMBED Equation.3 (левосторонняя, если EMBED Equation.3 )

Решение:

Статистика критерия: EMBED Equation.3 — распределение Стьюдента, число степеней свободы k=n-1.

Вычисляем выборочное значение на основании исходных данных: EMBED Equation.3

Строим критическую область:

Для двусторонней гипотезы H1(1) : EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 — квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.

Правило принятия решения: Если EMBED Equation.3 то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем

Для правосторонней гипотезы H1(2): EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 — квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.

Правило принятия решения: Если EMBED Equation.3 то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем.

Для левосторонней гипотезы H1(3): EMBED Equation.3 : EMBED Equation.3 — квантиль распределения Стьюдента с числом степеней свободы k=49.

Правило принятия решения: Если EMBED Equation.3 то гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 принимаем. А если EMBED Equation.3 то мы попадаем в критическую область и гипотезу Но на уровне значимости α=0,1 отвергаем

Задача №3. Проверка гипотезы о числовом значении дисперсии генеральной совокупности при известном значении математического ожидания генеральной совокупности

Дано:

X∈N(m;σ) – нормальное распределение

EMBED Equation.3 — центрированная выборочная дисперсия

α — уровень значимости [α=0,1]

Нулевая гипотеза Но: EMBED Equation.3

Альтернативные гипотезы:

H1(1): EMBED Equation.3 (двусторонняя)

H1(2): EMBED Equation.3 (правосторонняя, если EMBED Equation.3 )

H1(3): EMBED Equation.3 (левосторонняя, если EMBED Equation.3 )

Решение:



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст