Реферат по математике Воробьев Александр Сергеевич

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №12

ГОРОДА ГОРНО-АЛТАЙСКА»

Метод вспомогательного элемента

Реферат по математике

Воробьев Александр Сергеевич

обучающийся 10 класса

МОУ «Школа №12 г.Горно-Алтайска»

Республика Алтай

Левченко Светлана Николаевна

учитель математики ВКК

МОУ «Школа №12 г.Горно-Алтайска»

Республика Алтай

Горно-Алтайск 2011

Содержание

стр.

Введение3

Метод вспомогательного элемента

1. Метод сетки4

2. Вспомогательный линейный элемент8

3. Вспомогательный элемент-площадь или объем.10

4. Вспомогательный элемент-угол13

Заключение16

Литература17

Введение

Обучение решению геометрических задач — важная составная часть изучения школьного курса геометрии. Большинство задач требует применения разнообразных теоретических знаний, доказательства утверждений, справедливых лишь при определенном расположении фигур, применение различных формул. Приобрести навыки в решении задач можно, лишь решив достаточно большое их количество, ознакомившись с различными методами, приемами и подходами. При решении задач закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.

Решение большой группы задач по геометрии облегчается введением дополнительных элементов, непосредственно не заданных в условии задач. Эти элементы могут быть длинами, площадями, объемами, углами. С их помощью составляются уравнения, где неизвестным будет искомый элемент или элемент, с помощью которого легко найдется искомый. Иногда с помощью этого элемента составляется не уравнение, а соотношение, требуемое условием задачи. В решении некоторых геометрических задач довольно часто выручают вспомогательные элементы. Бывает, стоит только провести на чертеже дополнительную высоту, вписать или описать окружность, достроить параллелограмм, как скрытые связи между неизвестными величинами задачи начинают зримо проступать, и путь к ее решению становится ясным и очевидным

Метод вспомогательного элемента используется для придания задаче определенности, если в ней имеются явно или неявно заданные неопределенные неизвестные, а также тогда, когда связь между данными и искомым непосредственно из условий задачи не видна (не может быть установлена).

Цель работы: Изучить метод вспомогательного элемента на группе различных задач, требующих неординарных методов решения.

Задачи:

Провести анализ типов задач, подходящих под метод вспомогательного элемента.

Выявить систему построения различных сеток.

1.Метод сетки

Ряд геометрических задач решается с помощью построения специального фона к геометрическому чертежу – сетки, или решетки. Этот прием не столь распространен, как остальные вспомогательные построения, но вполне достоин того, чтобы на него обратили внимание.

Задача 1. На сторонах ВС и СD квадрата АВСD даны точки К и М

соответственно так, что ВК = КС и

СМ = 2DМ (рис 1).

Найдите величину угла МАК.

Рис.1 Рис.2

Первое решение. Построим квадратную сетку, показанную на рисунке 2. Из рисунка видно, что отрезок АК является стороной, а отрезок АМ – частью диагонали АР квадрата АКРQ. Следовательно, угол МАК равен 45°.

Второе решение. Построим квадратную сетку, показанную на рисунке 3.

Из равенства прямоугольных треугольников

ANL и NMP следует, что AN = MN и

EMBED Equation.3 ANL + EMBED Equation.3 MNP = 90°, поэтому треугольник

ANM равнобедренный и прямоугольный.

Следовательно, EMBED Equation.3 МАК = EMBED Equation.3 МAN = 45°.

Задача 2. Середины сторон квадрата АВСD соединяются со всеми его вершинами. Построенные отрезки, пересекаясь, образуют внутри квадрата правильный восьмиугольник PQRSTUVХ (рис 4).

Найдите отношение площади восьмиугольника к площади квадрата.

Решение. Чертеж к задаче представим нарисованным на квадратной сетке, показанной на рисунке 5. Обозначим через s площадь одного квадратика – ячейки сетки. Тогда площади треугольников PQR, RST, TUV, VXP равны 2s. Восьмиугольник составлен из этих треугольников и центрального квадрата площадью 16s, так что площадь восьмиугольника равна 24s. Поскольку площадь квадрата ABCD равна 144s, то искомое отношение площадей равно 24s/144s = 1/6

Задача 3. В параллелограмме ABCD точки E и F – середины сторон AB и AD соответственно, P и Q – середины отрезков EC и FC соответственно, O – точка пересечения диагоналей параллелограмма (рис. 6). Найдите отношение площадей четырехугольника OPCQ и пятиугольника EPOQF.

Решение. Разделив каждую сторону параллелограмма на 4 равные части, проведем через полученные точки прямые, параллельные сторонам параллелограмма (рис. 7).

SHAPE \* MERGEFORMAT

Пусть площадь одного маленького параллелограмма – ячейки сетки – равно s. Тогда площадь параллелограмма OMCN равна 4s, а площадь каждого из треугольников PMC и QNC равна s. Отсюда площадь четырехугольника OQCP равна 4s – 2s = 2s. Аналогично определяем площадь пятиугольника EPOQF, она равна 4s. Итак, отношение равно 2s/4s = 1/2.

Задача 4. Точки D, E и F равностороннего треугольника ABC принадлежат соответственно сторонам AB, BC и CA, причем 3DB = AB, 3CE = BC, 3FA = AC. Отрезки AE, BF, CD пересекаются в точках K, L и M (рис. 8). Во сколько раз площадь треугольника ABC больше треугольника KLM?

Решение. Представим чертеж к задаче нарисованным на равномерной треугольной сетке (рис. 9). Обозначим через s площадь треугольника KLM, тогда площадь треугольника ABK равна 2s (как половина площади параллелограмма ABK). Аналогично, площади треугольников BCL и CAM тоже равны 2s. Следовательно, площадь треугольника ABC равна 7s, так что искомое отношение площадей равно 7.

Задача 5. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки P, Q, R, S являются серединами его сторон (Рис.10). Во сколько раз площадь четырехугольника ABCD больше площади четырехугольника PQRS?

Рис.10

Решение. Проведем параллельные линии сетки, как показано на рисунке 11. В данном случае сетка получилась неравномерная, но, тем не менее, с её помощью можно поймать улов!

Так как площадь четырехугольника XPQY равна половине площади треугольника ABC, а площадь четырехугольника XYRS равна половине площади

треугольника ACD, то площадь четырехугольника ABCD ровно вдвое больше площади четырехугольника РQRS.

Задача 6. В треугольнике ABC (рис. 12) высота CD =1 делит сторону AB на отрезки AD=2 и BD=3.Чему равен угол ACB?

Решение. Достроим до параллелограмма ACBK и проведем сетку как показано на рис.13.

EMBED Equation.3 ACB= EMBED Equation.3 ACK+ EMBED Equation.3 KCB

Из рисунка видно EMBED Equation.3 ACK=90º, EMBED Equation.3 KCB = 45°, следовательно EMBED Equation.3 ACB=135°.

2.Вспомогательный линейный элемент

В ряде случаев в решении геометрических задач необходимо введение вспомогательного отрезка. Суть этого метода состоит в том, что длину некоторого отрезка рассматриваемой в задаче фигуры полагают равной, например, x и затем находит искомую величину. При этом в одних случаях вспомогательная величина в процессе решения задачи «исчезает» (сокращается), а в других ее нужно определить через данные условия и подставить в полученное для искомой величины выражение.

Задача 1. Через некоторую точку, взятую внутри треугольника, проведены три прямые, соответственно параллельные сторонам треугольника. Эти прямые разделяют треугольник на шесть частей, из которых три — треугольники с площадями S1 ,S2 , S3.Найти площадь данного треугольника.

Решение. Приступая к решению, замечаем подобие треугольников с площадями S1 ,S2 ,S3 (рис. I) и треугольника ABC с площадью S. Кроме того, сумма длин сторон DQ, QE и FK маленьких треугольников равна длине стороны ВС треугольника ABC. Используем эти стороны как вспомогательные элементы, получаем уравнения

EMBED Equation.3

Сложим их:

EMBED Equation.3

Итак, EMBED Equation.3

Вспомогательный отрезок рекомендуется вводить, если в условии задачи не даны линейные элементы и требуется найти зависимость между углами.

Рис.1

Задача 2. Найти косинус угла при основании равнобедренного треугольника, зная, что точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности.

Решение

По условию ортоцентр H треугольника ABC (AB = AC) должен находиться внутри треугольника, поэтому EMBED Equation.3 A < 90° (рис. 2). Введем вспомогательный элемент a — длину отрезка BD, обозначим EMBED Equation.3 ABC через x, центр вписанной окружности— через О. Тогда

EMBED Equation.3

откуда

EMBED Equation.3

Рис.2

Задача 3. Большее основание правильной усеченной четырехугольной пирамиды образует с боковой гранью угол EMBED Equation.3 , а с плоскостью, проходящей через противолежащие стороны верхнего и нижнего оснований, — угол EMBED Equation.3 . Найти отношение площадей оснований.

Решение.

Введем вспомогательный элемент а — длину стороны большего основания пирамиды (рис. 3). Площадь этого основания будет а². Длину стороны верхнего основания можно выразить через a, EMBED Equation.3 и EMBED Equation.3 . Рассмотрим равнобедренную трапецию EE1F1F, получающуюся в сечении пирамиды плоскостью, перпендикулярной основаниям и проходящей через середины сторон AB и CD. Введем еще вспомогательные отрезки Е1Н = h,E1F1 = x. Тогда

EMBED Equation.3

Получаем уравнение (a + x) tg EMBED Equation.3 = (a – x) tg EMBED Equation.3 , откуда

EMBED Equation.3

3.Вспомогательный элемент — площадь или объем

Введение площади и объема в качестве вспомогательного элемента аналогично введению линейного элемента. Сравнивая площади и объемы отдельных частей фигуры, можно получить или уравнение относительно неизвестных задачи, или необходимое соотношение. Лучше находить те площади и объемы, сумма (разность) которых даст площадь заданной фигуры, а также отношение площадей тех фигур, у которых линейные элементы — либо искомые, либо являются компонентами необходимого соотношения.

Задача 4. Через центр правильного треугольника проведена прямая, параллельная основанию. На этой прямой внутри треугольника взята произвольная точка М. Доказать, что расстояние от точки М до основания треугольника есть среднее арифметическое расстояний от точки M до боковых сторон треугольника.

Решение.

Пусть h1, h2, h3 — расстояния от точки М до сторон треугольника ВС, АВ, АС соответственно (рис. 4). Ясно, что SAMB + SCMB + SAMC = SABC, или ah1 + ah2 + ah3 = ah, где a — сторона треугольника ABC, h — его высота. Итак, h = h1 + h2 + h3, но h1 = h:3, поэтому EMBED Equation.3

Рис.4

Задача 5. Дан четырехугольник ABCD, описанный около круга. Доказать, что квадраты расстояний от центра окружности до противоположных вершин относятся, как произведения сторон, сходящихся в этих вершинах.

Решение.

Рис.5

Обозначения приведены на рисунке 5. Требуется доказать, что

EMBED Equation.3

Высоты треугольников AOD и ВОС равны, поэтому

EMBED Equation.3

С другой стороны,

EMBED Equation.3

Докажем, что sin EMBED Equation.3 = sin EMBED Equation.3 . Для этого заметим, что EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 (это половина суммы всех углов четырехугольника), EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 . Отсюда следует, что EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 = EMBED Equation.3 , sin EMBED Equation.3 = sin EMBED Equation.3 , и из формулы (2) получаем

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3

Из соотношений (1) и (2′) имеем EMBED Equation.3 аналогично EMBED Equation.3 . Перемножив последние два равенства, получим

EMBED Equation.3

а разделив первое из них на второе, получим

EMBED Equation.3

Разберем задачу, где вспомогательным элементом будет объем.

Задача 6. В треугольной пирамиде боковые ребра взаимно перпендикулярны и равны а, b, с. Высота пирамиды, опущенная из вершины на основание, равна h. Доказать, что

EMBED Equation.3

Решение.

Рис.6

Вычислим объем пирамиды двумя способами: считая ее основанием в первом случае треугольник АВС (рис. 6), а во втором — грань АМС. Пусть МА =а, МВ=b, МС = с, МО = h. АD EMBED Equation.3 ВС. Тогда EMBED Equation.3

Далее, МD EMBED Equation.3 BC, из треугольника BMC имеем BD BC =BM² откуда

EMBED Equation.3

Если основание — треугольник АМС, то

EMBED Equation.3

Сравнивая (3) и (4), получаем:

EMBED Equation.3 , откуда

EMBED Equation.3 .

Разделив обе части последнего равенства на EMBED Equation.3 , получаем требуемое равенство.



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | Вперед → | Последняя | Весь текст