Реферат по истории математики. Научный д ф. м н. профессор Винбе

Московский государственный университет им. М.В.ЛомоносоваМеханико-математический факультетКафедра высшей алгебры

Поршнев Евгений Андреевич

Альтернативная теория множеств (по книге Петра Вопенки)

Реферат по истории математики.

Научный руководитель: д. ф.-м. н. профессор Винберг Э. Б.

Ведущий семинары: к.ф.н. Катречко С.Л.

Москва

2009

§ 0. Введение.

Одним из наиболее спорных вопросов в современной классической математике является вопрос об абсолютной бесконечности. Бесконечность бывает двух сортов: потенциальная и актуальная. Понятие потенциальной бесконечности естественно возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n+1. Если мы дошли до шага k > n, то можно сделать и шаг k+1. Если абстрагироваться от ресурсных ограничений, то количество таких шагов неограниченно, и мы получаем понятие потенциальной бесконечности. Таким образом потенциальная бесконечность — это неограниченный процесс построения объектов по одному и тому же принципу. В противоположность такому процессу можно рассматривать актуальную бесконечность: бесконечную совокупность объектов, каждый из которых уже осуществлён, и все они перед нами предстают вместе, одновременно. Точки зрения на то, какие из бесконечностей имеют право на существование в математике, различаются. Так, например, Генцен говорит «Бесконечную совокупность нельзя рассматривать как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать лишь как нечто становящееся, нечто такое, что можно всё дальше и дальше надстраивать над конечным (потенциальная бесконечность)» (цитируется по [5]). Противоположную точку зрения представляют такие математики как Лейбниц «Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится её, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца», Больцано «чтобы вообразить целое, нет необходимости представлять отдельно его части» (цитируется по [4]). Подытожить можно высказыванием Адамара «Только логическое противоречие может остановить нашу способность создавать идеальные понятия» (цитируется по [3]).

В канторовской теории множеств носителями актуальной бесконечности являются бесконечные множества. При этом элементы множества всегда чётко заданы. Отметим ещё одно положение: в канторовской теории никаких других объектов, кроме множеств, не существует. Таким образом, любой бесконечный объект, который нам встретится, заранее объявляется множеством. Это положение позволяет рассмотреть множество всех множеств, что в свою очередь приводит к парадоксу Рассела. Уже в этом месте можно было бы обнаружить, что “множество всех множеств” является нечётко заданной совокупностью. Но исторически оказалось выбранным другое радикальное решение: осуществление множества всех множеств и некоторых его подмножеств было просто запрещено.

В 1963 г. П.Коэн получил неожиданное решение первой проблемы Гильберта: он доказал независимость континуум-гипотезы. Несколько позже появляются сходные результаты о независимости ещё нескольких утверждений от аксиоматики теории множеств и друг от друга. Одним из таких утверждений является гипотеза Суслина:

Линейно упорядоченное множество без концевых элементов, плотное в себе, полное по Дедекинду, любое дизъюнктное семейство непустых интервалов в котором счётно, порядково изоморфно множеству действительных чисел.

Наличие таких утверждений приводит к так называемому второму кризису теории множеств: становится непонятно, что есть истина. Всё это противоречит изначальной установке Гильберта: актуальные множества суть чёткие и однозначные объекты этой реальности. С этого момента возникают объективные предпосылки для переосмысления основных положений канторовской теории и развития альтернативных точек зрения.

Одна из таких точек зрения реализована чешским математиком Петром Вопенкой и получила название альтернативной теории множеств (AST). В канторовской теории множеств все наши представления основаны на абсолютной чёткости рассматриваемых понятий (например, вещественных чисел), что служит источников многих проблем. В частности, в классической математике нет места таким нечётким понятиям, как «куча», «большое число», «маленькое число». Но именно работа с такими не вполне определёнными, нечёткими понятиями является основой альтернативной теории множеств.

Кажется естественным в начале ограничиться наследственно-конечными множествами (конструируемыми из пустого по определённым правилам), при этом процесс такого построения постепенно уходит за горизонт нашего чёткого видения. Понятие горизонта тем самым приобретает центральное значение, по сути заменяя собой идею конечности в классическом понимании. Множества, находящиеся перед нашим горизонтом, признаются конечными в смысле альтернативной теории множеств, а их совокупность, уже не будучи множеством, образует класс. Автором проделана большая работа по математизации этих суждений, впрочем он не придерживается строго аксиоматического подхода (что подчёркивает парадигмальный характер теории), вводя требуемые аксиомы по мере надобности и мотивирую эту надобность интуитивными воззрениями. В конце книги приведено рассуждение на тему того, какие ещё аксиомы можно ввести в альтернативную теорию множеств для дальнейшего развития в том или ином направлении.

Мне не известно математических применений альтернативной теории множеств вне её самой, но нельзя отрицать, что философское значение AST огромно: ведь Вопенка предлагает изменение классического взгляда на понятие бесконечности в математике. Принятие теории «естественной бесконечности»  как принципа условной границы, остановки при рассмотрении математических процессов, решает практически все проблемы теории множеств и снимает противоречия в большинстве логических  парадоксов.

§ 1. Базовые понятия AST. Множество, класс, собрание.

Выделим тот класс сущностей, которые мы считаем объективно существующими и назовём их объектами.

В AST множества — это объекты особого рода. Пусть дана какая-либо чётко выделенная совокупность объектов. Если мы признаем за этой совокупностью индивидуальность, представляем её как целостную и самостоятельную единичность, т. е. объект, то мы порождаем множество; его элементами будут объекты, находящиеся в этой совокупности. Это значит, что для каждого объекта ответ на вопрос, является ли он элементом множества (то есть, лежит ли он в данной совокупности) должен быть интуитивно ясен.

Однако, многие естественно возникающие совокупности не являются множествами. Например, совокупность всех ныне живущих людей не выделена чётко. Ведь если бы мы должны были решить, принадлежит ли к ней тот или иной человек, то у нас могли бы иной раз возникнуть немалые сомнения. Аналогично, не являются чётко выделенными совокупности всех существующих в данный момент столов, белых платьев, вкусных (или просто съедобных) блюд и прочие. Короче говоря, почти всегда, когда мы выделяем совокупность каким-либо естественным свойством (т. е. помещаем в эту совокупность все объекты с этим свойством), то данная совокупность выделяется нечётко. Для того, чтобы можно было работать и с совокупностями такого вида, вводится понятие класса. Если в определении множества не требовать чёткости, то полученный объект будет классом.

При этом несмотря на то, что совокупность элементов класса может быть выделена нечётко, принадлежность элементов классу понимается классически. Это значит, что если X — класс, а Y — объект, то Y X или YX, причем оба случая одновременно не могут иметь места. Но это не означает, что всегда можно решить, который из двух случаев осуществляется.

Частным случаем класса является полумножество. Класс называется полумножеством, если он есть подкласс некоторого множества. Собственные полумножества (то есть не являющиеся множествами) существуют. Некоторые примеры нечётких совокупностей, выделенных из совокупностей чётких были известны ещё в древности. Так, например, собственным полумножеством будет класс натуральных чисел, задаваемый свойством: если удалить такое-то число песчинок из данной кучи песка, то останется всё ещё куча песка. Подобно этому, собственным полумножеством является класс тех натуральных чисел, для которых имеет место свойство: если выдернем столько-то волос из головы волосатого, то он не станет лысым.

Поскольку требуется, чтобы класс существовал как объект, в момент его рассмотрения все элементы класса должны быть уже осуществлены. В частности, бесконечные (в классическом понимании) классы в альтернативной теории множеств оказываются носителями актуальной бесконечности. Что касается бесконечности потенциальной, то она предстаёт перед нами в виде собраний объектов. Собрание мы представляем себе как некое «вместилище», наподобие ямы, куда «падают» объекты по мере их осуществления. Чаще всего собрание объектов задаётся некоторым свойством. В такое собрание попадают в точности те объекты, которые обладают этим свойством. Это понятие наиболее близко к классическому множеству.

Не каждое собрание объектов можно считать объектом. В противном случае возникает парадокс типа парадокса Рассела. Допустим, что каждое собрание объектов представлено как объект. Пусть M есть собрание объектов, являющихся собраниями, не попадающими сами в себя. Тогда M — тоже объект. Этот объект не принадлежит собранию M, поскольку туда попадают те собрания объектов, которые не попадают сами в себя. Но коль скоро собрание M не попадает в M, оно должно попасть в M, поскольку там находятся как раз те собрания объектов, которые не попадают сами в себя.

§ 2. Горизонт.

Ключевым понятием альтернативной теории множеств является понятие горизонта. Каждый наш взгляд, куда бы он ни был направлен, всегда чем-то ограничен. Либо на его пути оказывается твёрдая граница, чётко его пресекающая, либо он ограничен горизонтом, в направлении к которому утрачивается ясность нашего видения. Например, наш взгляд на окружающее пространство, сосредоточенный на его размерности, чётко ограничен тремя измерениями. Горизонтом ограничено наше видение вдаль, а также вглубь, т.е. при взгляде на всё более мелкие предметы. Однако взгляд не есть только видение глазами, но понимание реальности в самом широком и многостороннем смысле. С этой оговоркой нужный смысл можно выразить так: взгляд это высматривание того, что возможно усмотреть, и рассматривание того, что мы усмотрели.

Твёрдые границы, чётко преграждающие взгляд, нам представляются как что-то непреложное, как необходимые рамки, в которые заключен сам мир. Напротив, в направлении к горизонту мир для нас остается открытым.

Часть мира, лежащая перед горизонтом, выделена нечётко. Чем ближе к горизонту находится нечто, тем хуже мы его видим. Именно в направлении к горизонту мы встречаемся с феноменом нечёткости. Чем ближе к горизонту, тем более ощутимо этот феномен проявляется. Но все нечёткое указывает за себя, продолжается дальше или плавно переходит во что-то иное. Поэтому мир, лежащий перед горизонтом, должен продолжаться за горизонт, что, собственно, и означает, что мир открыт в направлении к горизонту. Иначе говоря, мы воспринимаем мир таким образом, что он продолжается и за горизонтом, но там остается ещё не познанным.

Горизонт не занимает определенного положения в мире, он может перемещаться. Существующий горизонт можно нередко отдалить или «преодолеть», и это укрепляет нашу уверенность, что мир продолжается за горизонтом. Но, строго говоря, за горизонт попасть мы не можем. Преодоление существующего горизонта означает всего лишь, что перед горизонтом оказалось нечто, бывшее прежде за горизонтом; вернее, мы представляем его себе так, что оно прежде было за горизонтом, пока мы горизонт не подвинули. Сам по себе горизонт, пожалуй, является самой непреложной границей, в которой мы заключены и которую не можем пересечь. Но поскольку мы понимаем мир так, что он продолжается и за горизонтом, то горизонт является для нас не границей мира, а лишь границей нашего взгляда на мир.

Итак, горизонт тоже является по-своему чёткой и прочной границей, но в отличие от границ, которые чётко прерывают наш взгляд на мир и которые мы воспринимаем как границы самого мира (например, упомянутая выше трёхмерность пространства), горизонт ограничивает лишь наше видение мира, но мы не представляем его так, что он ограничивает мир.

В альтернативной теории множеств изучается естественная бесконечность, т. е. та форма бесконечности, которая присутствует в феномене нечёткости. Термины «конечный класс» или «конечное множество», равно как «бесконечный класс» или «бесконечное множество», приобретают другой смысл, т. е. связаны с иными явлениями, нежели в классической математике.

Под конечным классом мы понимаем такой класс, с которым можно встретиться так, что при этом на совокупности его элементов нечёткость будет преодолена. Более формальное определение таково: класс X конечен, если каждый его подкласс, включая сам этот класс, есть множество. Из определения легко выводится конечность пустого и одноэлементных классов и тот факт, что объединение двух конечных классов конечно. Однако не следует думать, что любой классически-конечный класс конечен. Казалось бы, если X — классически конечное множество, то его можно получить из пустого множества поочерёдным добавлением отдельных элементов, т. е. X = ∅ ∪ {X1} ∪ … ∪ {Xn}, где X = {X1, … , Xn}. Однако нечёткость, часто неустранимая, может скрываться за использованием многоточий. При классическом понимании они часто заменяют такие длинные записи, что мы не могли бы их обозреть, а тем более записать соответствующее доказательство конечности.

Выполнимость полной индукции для всех натуральных чисел нами никак не доказана, и доказать её мы не можем. Чтобы показать всю проблематичность классических представлений о натуральных числах, мы должны предъявить какое-либо иное возможное представление натуральных чисел, лежащих за горизонтом, а именно, такое, которое не согласовано с полной индукцией. Дадим волю фантазии и вообразим, что после долгого прибавления единицы мы попадём где-то далеко за горизонтом в «чёрную дыру». Это значит, что мы обнаружим, что число, до которого мы дошли, уже не увеличивается от прибавления единицы. Когда точно это произошло, нам, конечно, неизвестно, подобно тому, как нельзя точно определить, в какой момент посаженное семечко превращается в развесистое дерево. В этой «чёрной дыре» мы можем остаться навсегда или же, при дальнейшем неустанном прибавлении единицы, выйдем из неё и попадем в другую «чёрную дыру». Нам могут возразить, что никакой «чёрной дыры» в последовательности натуральных чисел быть не может, так как если бы для какого-то числа n имело место n = n + 1, то было бы также 0 = 1. Это, однако, нельзя доказать простым вычитанием числа п из обеих частей равенства, поскольку такое правило основывается как раз на том, что в собрании натуральных чисел «чёрной дыры» нет. Тогда мы могли бы последовательно вычитать по единице из обеих частей. О том, что мы в конце концов придем к результату 0 = 1, мы заключаем лишь на основании принципа полной индукции, который при наличии «чёрной дыры» за горизонтом не выполняется. И если бы даже путем такого долгого вычитания мы и пришли к равенству 0 = 1, это вовсе не значило бы, что мы действительно доказали, что 0 = 1, и тем самым пришли к противоречию. Это означало бы лишь, что такие длинные доказательства неприемлемы. Доказательство тоже ведь имеет свою длину, и если эта длина достигает «чёрной дыры», то рассуждение утрачивает свою доказательную силу.

§ 3. Аксиомы альтернативной теории множеств.

Альтернативная теория множеств не является формальной системой, описанной набором аксиом, и причиной этого во многом является отсутствие строгого определения, что значит чёткость. Интуитивно мы это понимаем, и этим пониманием пока предлагается ограничиться. Но тем не менее, некоторые шаги по формализации теории предпринимаются. Начинается всё с определения универсума множеств.

Универсум множеств V есть собрание объектов, определённое следующим способом:

1. Пустое множество в него попадает.

2. Если в него попали множества x, у, то в него попадает и множество x ∪ {y}.

3. Никакие другие объекты, кроме попадающих в это собрание согласно пунктам 1 и 2, в него не попадают.

Таким образом, в универсум множеств попадают множества ∅, {∅} = ∅ ∪ {∅}, {{∅}} = ∅ ∪ {{∅}}, {∅,{∅}} = {∅} ∪ {{∅}} и т. д. Также в нём содержатся все натуральные числа в их неймановской модели (в неймановской модели число 0 кодируется пустым множеством, а число n кодируется множеством {s0, s1, … , sn-1}, где si — неймановская модель числа i).

Из всего универсума множеств можно выделить универсум наследственно-конечных множеств — те множества, которые можно построить по правилам 1 и 2 за конечное (в понимании альтернативной теории множеств) число шагов. Соответственно те из натуральных чисел, которые в него попадают, называются конечными натуральными числами (мы будем обозначать класс таких чисел через FN). Собрание конечных натуральных чисел представляет собой прямой путь, по которому можно шаг за шагом идти к горизонту (и ни шагу дальше).

Поскольку все наследственно-конечные множества располагаются до горизонта, для выполняются многие естественные свойства. Латинскими буквами обозначаются наследственно-конечные множества.

Аксиома экстенсиональности.

(∀x, y)(x = y ⇔ (∀z)(zx z y)).

Это утверждение означает, что множество однозначно задаётся совокупностью своих элементов.

Аксиома множества-последователя.

(∀x)(∀y)(∃z)(z = {u; u xu = y}).

Здесь утверждается, что универсум наследственно-конечных множеств замкнут относительно операции, описанной в пункте 2.

Аксиома индукции. Пусть φ(х) — множественное свойство (то есть свойство, которое можно выразить на языке теоретико-множественных операций). Тогда имеет место

[φ(∅) & (∀x)(∀y)(φ(х) ⇒ φ(х ∪ {y}))] ⇒ (∀x) φ(х).

Данная аксиома разрешает ведение индукции по множеству конечных натуральных чисел. Таким образом, несмотря на то, что индукция по всем натуральным числам запрещена, в классе конечных натуральных чисел доказательство по индукции возможно. И это довольно естественно: ведь для любого конечного натурального числа мы можем явно выписать все индукционные переходы к нему приводящие, и доказательство всё ещё будет конечно.

Аксиома регулярности. Пусть φ(х) — множественное свойство такое, что (∃z) φ(z). Тогда (∃y)(φ(y) & (∀u yφ(u)).

Здесь утверждается, что для любого множественного свойства, которому удовлетворяет хотя бы одно множество, найдётся минимальное по включению множество, ему удовлетворяющее.

Помимо здесь перечисленных, автором вводится ещё некоторое количество аксиом, но их затруднительно здесь сформулировать, не вводя многочисленные и малопонятные без контекста определения. Наиболее примечательной из них кажется аксиома мощности, которая по сути утверждает, что любые два неперечислимых класса (то есть не конечных и не равномощных классу FN) равномощны.

Несмотря на то, что все вышеперечисленные утверждения названы аксиомами, в настоящей работе они доказываются (выводятся из определения наследственно-конечных множеств). Такое название, видимо, обусловлено тем, что при доказательстве дальнейших теорем автор уже не апеллирует напрямую к понятию чёткости, используя вместо этого данные аксиомы. Это позволяет вообще отказаться от всех не вполне формальных рассуждений, введя некоторую систему аксиом (хотя и довольно громоздкую), если вдруг возникнет такое желание.

§ 4. Мир за горизонтом.

Пока что всё сказанное относится к тому что, самое большее, уходит к горизонту или хотя бы допускает такое представление, что оно позволяет себя так разместить перед горизонтом. Однако, главная цель лежит за горизонтом. Там тоже есть мир, и нас интересует, какой он там. О том, что есть за горизонтом, ничего точно не известно, о том можно лишь фантазировать; за горизонтом может быть всё, что угодно. Правда, мир за горизонтом не отделен резко от мира перед горизонтом. К миру за горизонтом ведут пути, по которым туда можно двигаться, мы не попадаем в этот мир по мановению волшебной палочки. Мир перед горизонтом плавно переходит в мир за горизонтом. Значит, за горизонтом не может быть совсем уж что угодно, а только то, что «стыкуется» с миром перед горизонтом, дополняет его хотя бы каким-то удивительным образом, т. е. скорее подтверждает, а не опровергает его. Короче говоря, за горизонтом может быть лишь то, что там может быть, т. е. что возможно; но из того, что возможно, там может быть что угодно.

Предположение, согласно которому мир продолжается за горизонт, оставаясь таким же, как перед горизонтом, не лишено оснований. По крайней мере на некотором протяжении за горизонтом так должно быть. За горизонтом может встретиться и нечто непредвиденное, но оно не может лежать на самом горизонте. Горизонт не есть черта, проведенная в самом мире. Мы не представляем его себе как феномен мира, а лишь как феномен, сопровождающий наш взгляд на мир. Если бы какое-то явление, принадлежащее миру, находилось прямо на горизонте или касалось его с невидимой стороны, то это явление и было бы вполне определённой границей, пресекающей наше видение и фиксирующей положение горизонта. Короче говоря, за горизонтом мир продолжается плавно, и притом столь далеко, пока на пути не встанет какая-то преграда, принадлежащая самому миру.

Так как горизонт не занимает определенного положения в мире, мы можем его отдалить, увеличивая нашу зоркость. Если при таком усилении зоркости, т. е. удалении горизонта, мы натолкнёмся на неожиданное явление, то оно либо не позволит нам проникнуть дальше, либо само окажется перед горизонтом. Но если мы горизонт отдалим лишь немного, т. е. не настолько далеко, чтобы встретиться с таким явлением, то мир, лежащий перед горизонтом, хотя и расширится, но не изменится. Таким образом, с увеличением зоркости при взгляде на множества из универсума множеств мы приходим к какому-то более обширному собранию наследственно-конечных множеств. При этом усиление зоркости само по себе является нечётким феноменом, поэтому возможно, что наша зоркость может быть каким-то образом усилена ещё раз, или даже несколько. Пусть V — достаточно обширный класс наследственно-конечных множеств, который мог бы получиться в результате такого усиления, и для него всё ещё выполнены перечисленные выше аксиомы. Собрание всех его подклассов мы назовём расширенным универсумом. По сути от V хочется лишь, чтобы это был достаточно большой класс, который можно описать посредством разрабатываемой аксиоматической теории.

Поскольку следующее утверждение выполнено в классе наследственно-конечных множеств, естественно наложить такую аксиому и на V. Итак:

Аксиома элементов и подмножеств. Для любого объекта X имеет место X V X V & (X множество).

Расширенный универсум является собственным предметом изучения альтернативной теории множеств. Таким образом, её применимость основана на вере в то, что классы не находящиеся в расширенном универсуме можно изучать так, как если бы они в нём находились, то есть их можно соответствующим образом закодировать. Например, в V должен быть класс, позволяющий закодировать класс всех атомов в Солнечной системе. В канторовском универсуме такое кодирование заведомо возможно. Можно возразить, что класс V может оказаться слишком малым для того, чтобы закодировать любой класс. Но что это на самом деле означало бы? Если бы, например, класс всех атомов Солнечной системы оказался слишком велик для кодирования, то причиной этого было бы то, что число таких атомов (если вообще можно говорить об их числе) ведёт себя как-то не так, как числа из класса V. Но в таком случае, по всей видимости, их нельзя было бы занумеровать и числами из канторовского натурального ряда. Значит, разница лишь в том, что при приложениях чистой альтернативной теории множеств нам заранее известны их границы, равно как и те допущения, на которых эти приложения основаны, тогда как в классической математике мы этого не знаем и не устаём удивляться, что мир ведёт себя не так, как, по нашему мнению, он должен себя вести.

Мы говорим, что задано направление к горизонту, если задана некоторая функция на классе конечных натуральных чисел (под функцией f : XY мы понимаем множество пар {〈x, f(x)〉}). Если бы наша зоркость увеличилась, то эта последовательность как целое, конечно, исчезла бы, но её отдельные члены, а также заданное ею направление остались бы. То, что мы видим сейчас в указанном направлении, мы будем видеть и тогда, но мы лишь будем не в состоянии увидеть в точности то, что видим сейчас. Это значит, что мы увидим больше, но не сможем восстановить то, что мы видели прежде. Иными словами, данная последовательность, хотя бы на некотором протяжении за горизонтом, будет плавно продолжаться. Либо где-то за теперешним горизонтом она сама чётко прервётся, либо будет уходить к новому горизонту. Формализацией этого рассуждения служит ещё одна аксиома:

Аксиома продолжения. Пусть G: FN V есть функция. Тогда существует функция g такая, что G g.

Класс наследственно-конечных множеств мы осуществили посредством его определения. Это означает, что сначала мы определили, пусть нечётко, собрание всех наследственно-конечных множеств, актуализовали его, а уже потом осуществили соответствующий класс. Напротив, класс V мы постулировали. Это значит, что на основании некоторых доводов мы провозгласили его существующим, не определяя предварительно совокупность его элементов. Эта совокупность определяется как бы задним числом, т. е. самим этим классом.

Поскольку класс V мы рассматриваем как осуществлённый, а значит, все его элементы также считаем осуществлёнными раз и навсегда, то при осуществлении классов расширенного универсума у нас отпадает забота о том, чтобы все объекты, принадлежащие этим классам, уже были осуществлены.

Таким образом, осуществление классов расширенного универсума (посредством их определения) происходит следующим образом. Сначала имеем какое-то определяющее свойство, выделяющее некоторую совокупность объектов, и эту совокупность мы представляем как класс.

§ 5. Феномен неразличимости.

Вторым после горизонта феноменом, которому не нашлось места в европейской науке, явилась неразличимость. Для миропонимания, свойственного классической науке, это было правомерно. Различимость, а следовательно, и неразличимость суть нечёткие явления. Более того, неразличимость воспринимается как проявление несовершенства, так как нередко то, что теперь неразличимо, после усовершенствования наших способностей (т. е. при достаточном отдалении горизонта) становится различимым. Значит, задача науки не в том, чтобы исследовать неразличимость, а в том, чтобы её преодолевать.

С другой стороны, хотя нам иногда удается преодолеть тот или иной вид неразличимости, так же как нам иногда удается отдалить в том или ином направлении горизонт, но преодолеть неразличимость как таковую мы вряд ли в состоянии. Более того, если мы допустим, что мир — это всего лишь структура на множестве элементарных частиц, то если бы мы полностью преодолели неразличимость (т. е. если бы ясно различали каждые два объекта), мир явился бы нам лишь как множество обособленных объектов, вследствие чего исчез бы феномен непрерывности в том виде, как мы его знаем. Точнее говоря, если мы исключим неразличимость из предмета нашего изучения, а вопреки этому будем настаивать на теоретико-множественном представлении непрерывности, то нам останется лишь представлять её так, как это делает классическая математика — посредством абсолютной бесконечности. Мы не будем пускаться в подобные умозрения, а просто примем к сведению, что феномен неразличимости есть и устранить его мы не можем. Вместе с тем вышеупомянутая возможность преодоления неразличимости подсказывает, что как раз посредством неразличимости мы могли бы представить непрерывность и что вообще именно на этом феномене основана, пожалуй, сама познаваемость мира. И в самом деле, посредством неразличимости можно представить непрерывность в пространстве и во времени.

В расширенном универсуме основой понятия неразличимости является двуместный предикат (в терминах альтернативной теории множеств — двуместное отношение) который по паре объектов определяет, различимы ли они. Данный предикат на своей области определения симметричен и рефлексивен.

Одной из наиболее актуальных проблем теоретико-множественной математики является разработка представления континуума. Например, представление прямой как множества лежащих на ней точек многие столетия рассматривалось как совершенно недопустимое. И в каком-то смысле это правомерно. Когда мы представляем некий континуум как множество или класс точек, в нём лежащих, мы этот континуум раздробляем на отдельные точки и тем самым уничтожаем его, отнимая у него самое существенное — непрерывность и топологическую форму. Само по себе множество или класс не может быть непрерывным и не имеет топологической формы. Согласно привычным представлениям, непрерывность и форму придаёт множеству точек лишь пространство, в котором оно расположено. Однако теоретико-множественная математика не может идти этим путём, поскольку пространство — тоже континуум, требующий теоретико-множественного представления. Классическая математика в этом случае опять «склеивает» континуум из точек, явно описывая структуру этого склеивания. Таким образом не происходит осознания понятия континуума, а только его моделирование. С другой стороны, с точки зрения узких целей самой теории множеств, такое решение в некотором роде достаточно.

Однако альтернативная теория множеств позволяет разработать другое представление континуума. Исходным моментом служит появление континуума вместо класса, скрывшегося за горизонтом. Элементы такого скрывшегося класса вступают в некое отношение неразличимости, на котором и основано представление континуума. Та структура, посредством которой классическая теория множеств описывает непрерывность и топологические формы, выводится из этого отношения неразличимости. Иными словами, топология в классическом смысле оказывается уже чем-то вторичным.

Например, если посмотреть на кучу песка с расстояния десяти сантиметров, мы увидим отдельные песчинки, но не кучу в целом. Если посмотреть на ту же кучу с расстояния десяти метров, то отдельные песчинки уже будут неразличимы и мы увидим саму кучу — непрерывное тело определённой формы, то есть континуум (такой взгляд называется медиальным). Таким образом отдельные элементы класса уже не находятся перед горизонтом; континуум, который мы видим, есть лишь след, оставленный классом на горизонте. Этот континуум позволяет нам заключить, что рассматриваемый класс и все его элементы всё ещё имеются хотя бы где-то за горизонтом; т. е. этот класс всего-навсего ушёл за горизонт. Более того, сохранилось также направление, в котором на него надо смотреть. Поэтому мы можем представлять континуум как феномен, находящийся на самом горизонте.

При медиальном взгляде на некоторый класс мы не видим его отдельных элементов: они ушли за горизонт. Поэтому нет смысла прямо говорить об их различимости или неразличимости, но мы можем эти скрывшиеся за горизонтом элементы различать и непрямо, т. е. без того, чтобы мы их непосредственно видели, а именно, посредством следа, оставленного ими на горизонте. Например, если мы смотрим на стол, стоящий перед нами, то не видим составляющих его молекул. Однако две молекулы, из которых одна находится посередине стола, а другая в углу, уже непрямо различимы, поскольку середину стола мы хорошо отличаем от его угла. Наоборот, молекулы, которые для нас, так сказать, сливаются в одну точку, неразличимы даже и так непрямо.

Каждому взгляду присуща некоторая неразличимость, которую мы можем представлять себе как эквиваленцию, и по сути задание этой эквиваленции описывает топологическое устройство класса. Если мы скажем, какие из молекул стола неразличимы (ибо находятся «близко» друг к другу), мы зададим на нём структуру, аналогичную классическому понятию топологии. При этом топологический образ континуума зависит и от взгляда. Ведь если мы посмотрим на тот же стол в микроскоп, вполне вероятно, что мы заметим на нём всевозможные бугорки и сквозные отверстия. Это значит, что континуум меняет свою форму при изменении взгляда на него.

Соответственно возникает вопрос об объективности понятия формы. Если бы действительно существовало объективное пространство, в котором размещены все частицы, из которых этот стол состоит, то иначе не могло бы быть; но тогда объективной формой этого стола вряд ли была бы та форма, которую мы видим теперь, или даже та, которую бы мы видели, глядя на него через сильный микроскоп. И не ясно, добрались бы мы до этой формы, усиливая зоркость.

Если же принять позицию, что объективного пространства не существует, а есть лишь разные формы континуумов, соответствующие всегда определённому взгляду, то мы ни в чём не ограничим наше представление мира. То, что мы воспринимаем как пространство, есть не что иное, как абстрагированные формы континуумов, явленные нам при определенном взгляде (или при некоторой совокупности таких взглядов). Вопенка показывает, что в рамках этого подхода можно развить топологию по сути аналогичную классической.

Другое применение концепции неразличимости — это конструкция вещественных чисел. В начале необходимо ввести рациональные числа (как отношения натуральных чисел). На их множестве есть естественное отношение неразличимости: x и y неразличимы, если для всех конечных натуральных чисел n имеем |xy| < 1/n. Это значит, что слишком близкие рациональные числа сливаются для нас в одно, расстояние между ними находится за горизонтом. Аналогично слишком большие рациональные числа (превосходящие все конечные рациональные числа) тоже лежат за горизонтом. Вещественными числами будем называть классы эквивалентности (по вышеописанному отношению неразличимости) ограниченных (не «слишком больших» в вышеуказанном смысле) рациональных чисел. Показывается, что для так определённых вещественных чисел выполнена аксиома о существовании точной верхней грани. И вообще, такие вещественные числа удовлетворяют всему тому, что от них ожидается. Техника работы с самими вещественными числами в альтернативной теории множеств ничем существенным не отличается от того, как с вещественными числами работают в классической математике.

§ 6. Заключение. Динамическая альтернативная теория множеств.

В заключение надо сказать несколько слов о динамической альтернативной теории множеств. Это пока ещё не вполне разработанное направление в AST, в котором изучаются проблемы, связанные прежде всего с динамикой изменения наших взглядов на мир, что, в первую очередь, изменяет месторасположение горизонта. Горизонт можно отдалить заострением внимания, но здесь наши возможности весьма ограничены. Если хочется большего, то можно пытаться отдалить горизонт мысленно, опираясь на принцип, согласно которому за горизонтом мир продолжается так же, как и до горизонта. Но чем дальше мы так уходим, тем менее надёжным становится этот принцип. И хотя при достаточном отдалении мысленных горизонтов мы избавляемся от неуверенности и страха, сопровождающих близкий горизонт, но лишь ценой внушения себе чего-то, не являющегося истиной. Ведь мы думаем, что нечто можно видеть так, как мы это видеть не умеем, а может быть, так видеть это и невозможно. Неуверенность, сопровождающая близкие горизонты, для дальних горизонтов заменяется страхом разрушения мира или хотя бы наших достоверных знаний.

Все наши мыслимые взгляды на расширенный универсум будем истолковывать как объекты; каждому взгляду соответствует своя ветвь универсума — универсум множеств, собрание натуральных чисел, их части, лежащие перед горизонтом. Проще говоря, для каждого взгляда есть своя статическая альтернативная теория множеств. При этом сам универсум множеств V мы считаем объективным, не зависящим от взгляда. Равно как и отношение принадлежности объекта множеству. При разных взглядах мы получаем перед горизонтом его большую или меньшую часть, т. е. ту его часть, которую при таком взгляде мы можем наблюдать непосредственно; однако все множества из универсума множеств существуют объективно, независимо от того, видим мы их или нет. Основным содержанием данного направления является изучение плавного «заострения» взглядов — процесса изменения взгляда, при котором происходит отдаление горизонта. Тем не менее этот вопрос подробно в настоящей книге не рассматривается.

Список литературы

1. Вопенка П., Альтернативная теория множеств: Новый взгляд на бесконечность. Пер. со словац. — Новосибирск: Изд-во Института математики, 2004.

2. Малыхин В.И., Гипотеза Суслина и eё значение для теоретико-множественной математики.

HYPERLINK «http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=969&what=fullt&option_lang=rus» http://www.mathnet.ru/php/getFT.phtml?jrnid=rm&paperid=969&what=fullt&option_lang=rus

3. Лузин Н.Н., Собрание сочинений, том 2. – М.: Изд-во АН СССР, 1958 – с. 29

4. Рузавин Г.И., Философские проблемы оснований математики. – М., 1983. – с. 85

5. Логический словарь. HYPERLINK «http://slovarchik.ru/875/» http://slovarchik.ru/875/

6. Коэн П.Дж. Теория множеств и континуум-гипотеза.

HYPERLINK «http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/9e4261b9d145d3cdf72febad03fd7953.djvu» http://djvu.504.com1.ru:8019/WWW/9e4261b9d145d3cdf72febad03fd7953.djvu

7. Альтернативная философия математики.

HYPERLINK «http://altera-pars.narod.ru/Qadra/alterMah.htm» http://altera-pars.narod.ru/Qadra/alterMah.htm

PAGE

PAGE 18