Реферат к курсовому проекту (работе) по дисциплине

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО «Самарский государственный архитектурно-строительный университет»

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

К КУРСОВОМУ ПРОЕКТУ (РАБОТЕ)

по дисциплине

ТЕХНОЛОГИЯ/МЕТОДОЛОГИЯ

НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

на тему

«Компьютерное Моделирование Колебания Цепочки Ферми-Пасты-Улама «

3 СЕМЕСТР 2 КУРС

Научный руководитель: Бухман Н.С.

Методический руководитель: Пиявский С.А.

Проверили:

Выполнил:

студент ГИП 107 Захаров Д.Ю.

1. фио оценка подпись дата

подпись дата

2. фио оценка подпись дата

Общая оценка _______________

Методический руководитель оценка дата

2008 г.

Содержание:

TOC \o «1-3» \h \z \u HYPERLINK \l «_Toc217917516» Математическая модель PAGEREF _Toc217917516 \h 6

HYPERLINK \l «_Toc217917517» Описание программы PAGEREF _Toc217917517 \h 8

HYPERLINK \l «_Toc217917518» Анализ PAGEREF _Toc217917518 \h 10

HYPERLINK \l «_Toc217917519» Используемая литература: PAGEREF _Toc217917519 \h 11

Постановка задачи

По завершении Манхэттенского проекта (создания американской атомной бомбы) осталась «без работы» большая и быстродействующая по тем временам электронная вычислительная машина Maniac. Этим решили воспользоваться Энрико Ферми, Станислав Улам и сотрудник Ферми, физик Джон Паста. Они придумали математическую модель цепочки шариков, разделённых пружинками, которые создавали возвращающую силу, пропорциональную не первой степени отклонения от положения равновесия, как обычные пружинки, а квадрату отклонения. С помощью простаивавшего компьютера Ферми, Паста и Улам надеялись проследить за тем, как будет расплываться возмущение в такой цепочке. Предполагалось, что после достаточно большого числа циклов первоначальное возмущение равномерно распределится по всей цепочке. Но сколько ни «гоняли» компьютер, ничего похожего на равнораспределение энергии по цепочке не наблюдалось. Это было необъяснимо!

Эта проблема (или парадокс) получила название Ферми-Паста-Улама (ФПУ) и ознаменовала появление нелинейной физики и эры компьютерных решений физических задач.

Только через 12 лет парадокс Ферми — Пасты — Улама получил разрешение в работах Нормана Забуски, Мартина Крускала и Роберта Миуры. Оказалось, что в цепочке возникают особые волны — солитоны, которые не дают энергии равномерно распределяться по всей её длине. Солитоны — один из первых объектов нелинейной физики.

Первоначальная идея, предложенная Энрико Ферми, состоит в том, чтобы смоделировать одномерный аналог атомов в кристалле: длинной цепочки частиц, соединенных пружин, которые подчиняются закону Гука (линейное взаимодействие), но со слабой нелинейной коррекцией (квадратичных по FPU — INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/e77bb48fca1ca15ccc5da468634cf633.png» \* MERGEFORMATINET Модель или кубических для FPU — INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/6c3494f9e96249407650e062691f8e87.png» \* MERGEFORMATINET , см. REF _Ref210142662 \h \* MERGEFORMAT Рисунок 1.)

Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 1

Схема FPU модели: массы, которые могут двигаться только в одном измерении, связаны нелинейными пружинами, INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/6fd5e105433846d3ffef8bbd469ac406.png» \* MERGEFORMATINET относительное смещение по отношению к равновесной позиции INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/30c2a24cd38b0414fae013c0d44b0ca9.png» \* MERGEFORMATINET -ой массы. Оба конца цепочки считаются фиксированными, т.е. INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/351b40f2b80a20aa4041eaec4d6692eb.png» \* MERGEFORMATINET

Чистый линейный закон для источников гарантирует что энергия, дающаяся в простом «нормальном» режиме всегда остается в этом режиме (см. REF _Ref210143379 \h \* MERGEFORMAT Рисунок 2, определения нормальных режимов с точки зрения перемещения атома из их равновесных позиций)

HYPERLINK «http://www.scholarpedia.org/article/Image:FPUoriginalrecurrence.jpg» \o «Fermi-Pasta-Ulam nonlinear lattice oscillations» INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Fermi-Pasta-Ulam%20nonlinear%20lattice%20oscillations%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/thumb/f/fc/FPUoriginalrecurrence.jpg/400px-FPUoriginalrecurrence.jpg» \* MERGEFORMATINET

Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 2

FPU повторения для FPU — INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/e77bb48fca1ca15ccc5da468634cf633.png» \* MERGEFORMATINET модель с INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/912f66853ab717458077c8e957846ace.png» \* MERGEFORMATINET массами и фиксированными концами. График показывает время эволюции энергии (кинетической + потенциальной):

INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/c50746a3060723eb817a36cf11a68107.png» \* MERGEFORMATINET

каждого из трех низких нормальных режимов, связанных с перемещениями через:

INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/a2a659095330d3721c1dbeedb10ad59b.png» \* MERGEFORMATINET

с частотами:

INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/380af4c0db2362a19215975850affd29.png» \* MERGEFORMATINET

Первоначально, только в режиме INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png» \* MERGEFORMATINET (синий) спешит. После распространяются на другие виды, INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/38c9abaca4c0e762d42281e967e45959.png» \* MERGEFORMATINET (зеленый), INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/9d8980d95018cffda6b0d77684ba1523.png» \* MERGEFORMATINET (красный) и т.д., энергия почти полностью возвращается в режим INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/ceef78b61bf01306cc7e80344c92c19d.png» \* MERGEFORMATINET

HYPERLINK «http://www.scholarpedia.org/article/Image:EkdvZabusky_g.jpg» \o «Ферми-Паста-Улама нелинейных колебаний решетки» INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/thumb/4/40/EkdvZabusky_g.jpg/400px-EkdvZabusky_g.jpg» \* MERGEFORMATINET

Рисунок SEQ Рисунок \* ARABIC 3

Генерация солитонов в реальном времени. Пространственно-временная эволюция INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/9476d290b960cadca086e8392dfe351d.png» \* MERGEFORMATINET в системе с периодическими граничными условиями, подчиняющейся уравнению Кортевега-де Фриза. Время и пространство являются, соответственно, графиками по вертикали и по горизонтали. Амплитуда местной скорости INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/e458204a7cc437e43ed484c7293adfeb.png» \* MERGEFORMATINET показана в шкале цветов. Вставки снимков справа настоящее время в INCLUDEPICTURE «mhtml:file://D:\\Мои%20документы\\цепочка\\Важно\\Ферми-Паста-Улама%20нелинейных%20колебаний%20решетки%20-%20Scholarpedia.mht!http://www.scholarpedia.org/wiki/images/math/e458204a7cc437e43ed484c7293adfeb.png» \* MERGEFORMATINET . Топ один соответствует первоначальному состоянию, а второй показывает развитие ударной волны. Одно различие по третьему формированию рядов солитонов.

Математическая модель

Пусть yi= y(xi,t) представляет смещение частицы с горизонтальной позицией xi вдоль одномерной кристаллической решетки. Поскольку допускается, что частицы не перемещаются в направлении оси x, нам нужно рассматривать силы в вертикальном направлении. Сила Fi в i-ой частице зависит от относительного вертикального смещения между этой частицей и ближайшими соседями и может быть написано как

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fpu_force.gif» \* MERGEFORMAT .

где k это постоянная сила Гука и нелинейные квадратические и кубические параметры α и β, соответственно. Поскольку первые и последние частицы фиксированы, вычисляем ускорение, начиная со второй частицы, пока не достигнем предпоследней.

Один из вариантов описания решетки N связанных осцилляторов длиной L и массой M должен выражать смещение i-ого осциллятора yi(t) в положении xi так как сумма гармонической функции с угловой частотой ωm и углом фазы ϕm

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fpu_wavefunction.gif» \* MERGEFORMAT

где амплитуды {Am : m=1 …N-1} постоянны, если нелинейные параметры нулевые и медленно изменяющаяся функция времени, если эти параметры не слишком большие. Пространственная зависимость выражена Φm . m-ый режим Φm это

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fpu_mode.gif» \* MERGEFORMAT .

Коэффициент амплитуды N-1 {Am : m=1 …N-1} и углы фаз {ϕm : m =1 …N-1} можно производить произвольную первоначальную конфигурацию как в модели EJS Связанные Осцилляторы.

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fpu_frequency.gif» \* MERGEFORMAT

Система остается в одномодовом режиме и каждая частица на решетке колеблется с постоянной угловой частотой ωm если решетка инициализирована в одномодовом режиме и нелинейные параметры α и β равны нулю. Решетка не останется в одномодовом режиме, если α и β неравны нулю. Модель FPU инициализирует систему в одномодовом состоянии, устанавливая почти одну амплитуду в нуль и моделирование вычерчивает эволюцию времени первых шести способов, когда кнопка старт нажата.

Описание программы

Программа состоит из трех независимых окон

Окно описания задачи

Содержит информацию о задаче, математическую модель и результаты исследования

Окно модели

Модель и средства управления ею, возможность задания количества частиц, энергетических режимов, квадратичные и кубические отклонения, ускорение симуляции, а так же её запуск, остановка, сброс, пошаговый режим

Окно графика изменения энергии

Анализ

В любом заданном времени, смещение i-ой частицы yi в позиции xi на решетке с фиксированными концами может быть записано как сумма вида ϕm(x).

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fourier_sum.gif» \* MERGEFORMAT

Увеличение коэфициента Фурье ak объясняется смещением yi by

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fourier_coefficient.gif» \* MERGEFORMAT

Мы видим что легко вычисляется любой {yi} из {ai} или {ai} из {yi}. Оба комплекта чисел может быть использовано, чтобы описывать состояние кристалической решетки

Общая механическая энергия системы — сумма потенциальной и кинетической энергии системных частиц. Для простого одномерного закона Гука с пружинной константой К кинетическая энергия i-ой частицы is Ki= (1/2)Mvi2 и потенциальная частица каждой частицы это Ui= (1/2) kΔyi2. Полная энергия E = U + K для решетки из N молекул это сумма этих энергий.

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/lattice_energy.gif» \* MERGEFORMAT

Эта общая энергия может быть так же выражена с точки зрения энергии в каждом режиме, используя коэффициенты расширения ak и их производные dak/dt

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/mode_energy.gif» \* MERGEFORMAT

где ωm снова угловая частота нормального режима

INCLUDEPICTURE «../../../../FPU/Java/EJS_4.1_081211/EJS_4.1/workspace/source/FPU/fpu_frequency.gif» \* MERGEFORMAT

Используемая литература:

[1] Fermi E., Pasta J. R. and Ulam S. M. Studies on nonlinear problems. Technical Report LA-1940, Los Alamos Sci., 1955; also in Collected Works of E.Fermi, vol. II, Chicago: Univ. Chicago Press, 1965, 978–988.

[2] Izrailev F.M. and Chirikov B.V. (1966) Statistical Properties of a Nonlinear String. Soviet Phys. Dokl. 11:30.

[3] Zabusky N.J. and Kruskal M.D. (1965) Interaction of «solitons» in a collisionless plasma and the recurrence of initial states. Phys. Rev. Lett. 15:240-243.

[4] T. Dauxois, M. Peyrard, and S. Ruffo, «The Fermi-Pasta-Ulam ‘numerical experiment’: History and pedagogical perspectives,» Eur. J. Phys. 26, (2005).

[5] M. Tabor, «The FUP Experiment.» §7.1.b in Chaos and Integrability in Nonlinear Dynamics: An Introduction. New York: Wiley, p. 280 (1989).

[6] T. P. Weissert, The Genesis of Simulation in Dynamics: Pursuing the Fermi-Pasta-Ulam Problem, Springer (1997).

[7] Gould and Tobochnik Statistic and Thermal Physics to be published by Princeton University Press (2010).

PAGE 1