Реферат Приемы устного счета Выполнила учитель математики

Реферат

Приемы устного счета

Выполнила учитель математики

Панарина Людмила Ивановна

М О У «Средняя общеобразовательная школа №3»

Ленинградская область

г. Луга

2007 — 2008 уч. г.

План

Место и значение устного счета в развитии учащихся.

Общие приемы устного счета.

Специальные приемы.

Устный счет с использованием алгебраических преобразований.

Индусский способ умножения чисел.

Когда преобразования не уступают вычислениям на МК.

Организация и методика проведения устных вычислений.

Приложения:

Разработки к урокам в мультимедийном классе:

«Хочу все знать»

«Почему мы так говорим»

«Как люди научились считать».

Творческие работы учащихся.

«Когда на какое-нибудь определенное

действие человек затрачивает наименьшее

количество движений, то это грация».

А.П.Чехов

Предисловие

Кроме неоспоримо практического значения, искусство устного счета на определенной ступени своего совершенства становится эстетическим явлением. Именно эту идею передает известная картина Н.П.Богланова-Бельского «Устный счет».

Народ, создавший «Махабхарату» и «Рамаяну», эти шедевры художественной фантазии, обладал и чрезвычайно высокой вычислительной культурой, точнее, культурой устного счета, известного у древних индийцев под поэтическим названием «воздушного счета». Можно посвятить неискушенных учеников в индийскую тайну быстрого умножения и показать ее красоту на простом примере, вроде следующего.

Допустим, надо умножить 96 на 92. Дополнения до ста – соответственно 4 и 8. Отнимем от первого сомножителя дополнение второго (96-8=88) или от второго сомножителя дополнение первого (92-4=88). И в том, и в другом случае получаем 88. Это первые цифры искомого произведения. Перемножаем дополнения (4·8=32). 32 – это последние цифры произведения. Итак, 96·92=8832. На схеме это выглядит так:

EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 |

________

32

Если постараться делать то же и впредь, то можно воспитать таких приверженцев устного счета, которые в 11-ом классе будут ради собственного удовольствия легко брать в уме определенные интегралы. А это уже подходит под чеховское определение грации¹.

1

УСВОЕНИЕ ЗАКОНОВ ДЕЙСТВИЙ ПРИ УСТНОМ СЧЕТЕ.

РАЗВИТИЕ СМЕКАЛКИ ПРИ УСТНЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯХ.

Польза устных вычислений огромна. Считаю, что сознательное усвоение законов арифметических действий – это первая и ощутительная устных вычислений.

При устных вычислениях развиваются такие ценные качества человека, как внимание, сосредоточенность, выдержка, смекалка, самостоятельность. Любое вычисление устно можно выполнить очень многими способами. Пусть, например, нам надо умножить 28 на 4. Это умножение можно выполнить так:

А) 28 х 4 = (20 + 8) х 4 = 80 + 32 = 112;

Б) 28 х 4 = (25 + 3) х 4 = 100 + 12 = 112:

В) 28 х 4 = (30 – 2) х 4 = 120 – 8 = 112;

Г) 28 х 4 = 28 х 2 х 2 = 56 х 2 = 112.

Существуют и иные способы выполнения умножения 28 на 4, кроме перечисленных нами.

Из только что разобранного примера умножения 28 на 4 я убедилась, что можно широко применить инициативу в выборе для выполнения, данного вам действия. Таким образом, устный счет открывает широкие возможности для развития творческой инициативы учащихся.

При устном счете (иногда) надо держать «в уме» сами числа, над которыми производится действие, надо держать «в уме» некоторые промежуточные результаты, надо помнить некоторое количество наиболее эффективных приемов устного счета. Следовательно, устный счет содействует тренировке памяти. При устных вычислениях всем учащемся в классе приходится работать самостоятельно и активно, чтобы не отстать от товарищей.

Следует, наконец, остановиться на вопросе о быстроте подсчета при устных вычислениях. Конечно, устно, как правило, можно подсчитать быстрее, экономией с точки зрения затраченного времени и затраченных умственных сил. Но быстрота получения ответа при устных вычисления не является ценным. Я считаю, что если гнаться только за быстротой счета, то устные вычисления из средства превращаются в самоцель. При устных вычислениях значительно важнее экономики времени то, как выполнено данное действие, в чем проявилась творческая инициатива учащегося.

Как видно из сказанного выше, устные вычисления приносят огромную пользу математическому развитию учащегося.

В то время как письменные вычисления основаны на определенных приемах действий, однообразны и шаблоны, в устных вычислениях нет готового шаблона и приема вычислений очень разнообразны, что также способствует развитию целого ряда чрезвычайно полезных качеств человека.

2

ОБЩИЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА

Приемов устного счета очень много, но все эти приемы можно объединить в две группы: общие приемы устного счета и специальные приемы устного счета. Общие приемы устного счета могут быть применены к любым числам. Они вытекают из десятичного состава числа и основаны на применении законов и свойств арифметических действий.

Допустим, нам надо сложить числа: 28, 47, 32 и 13.

Общий прием такого сложения будет заключаться в следующем:

А) Пользуясь десятичным составом числа, разложим каждое слагаемое на разряды – на десятки и единицы:

28 = 20 + 8; 32 = 30 + 2;

47 = 40 + 7; 13 = 10 + 3;

Б) Воспользуюсь сочетательным и переместительным свойствами:

20 + 30 + 8 + 2 + 40 + 10 + 7 + 3 (применяю закон переместительности);

(20 + 30) + (8 + 2) + (40 + 10) + (7 + 3) (применяю закон сочетательности);

50 + 10 + 50 + 10 (выполняю сложение каждой группы слагаемых);

50 + 50 +10 + 10 (применяю закон переместительности);

100 + 10 + 10 = 120 (выполняю сложение).

Пусть надо умножить 128 на 4 .

А) Разложу множимое на разряды – на сотни, десятки и единицы: 128 = 100 + 20 + 8.

Б) Пользуясь распределительным законом умножения, умножу 100 х 4; 20 х 4 и 8 х 4 и полученные произведения 400, 80 и 32 сложим и получим: 480 + 20 + 12 = 512.

Необходимо много упражняться, чтобы постепенно овладевать общими приемами устного счета. Овладев этими приемами, ученики будут знать законы и свойства арифметических действий и, что особенно важно, будете применять эти законы и свойства арифметических действий осмысленно.

Но, кроме общих приемов устного счета, имеются особые или специальные приемы, которые применимы только к некоторым числам и некоторым действиям.

3

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ УСТНОГО СЧЕТА.

ПРИЕМЫ ОКРУГЛЕНИЯ.

Прием округления – очень эффективный и часто употребляемый прем устного счета. Этот прием можно использовать во всех четырех арифметических действиях.

Начну со сложения. Надо сложить: 399 + 473.

Если добавить к 399 единицу, т.е. округлим первое слагаемое до 400, то, как известно, от увеличения одного из слагаемых на несколько единиц сумма увеличится на столько же единиц, поэтому, сложив 400 и 473, я получу не истинную сумму чисел 399 и 473, а на единицу больше. Поэтому от 873 надо отнять единицу, и я получу истинную сумму слагаемых 399 и 473, т.е. 872.

Можно выполнить это сложение с округлением одного из слагаемых в уме без всякой записи промежуточных результатов: 399 + 473 = 872.

Можно записать промежуточные результаты:

399 + 473 = 399 + 1 + 473 – 1 = 400 + 472 = 872.

Из последней записи можно сделать вывод: округление одного из слагаемых можно сделать за счет другого слагаемого. Действительно, если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а другое слагаемое уменьшить на столько же единиц, то величина суммы не изменится:

399 + 1 + (473 – 1) = (399 + 1) + 472 = 400 + 472 = 872.

Разумеется, понятно, что округление слагаемых можно применять и в случае сложения более чем двух слагаемых.

Например:

384 + 132 + 224 = 384 + 132 + 220 + 16 +8 = (384 + 16) + (132 + 8) + 200 = 400 + 200 + 140 = 740.

Здесь первое и второе слагаемое я округлила за счет третьего. При сложении я использовала закон сочетательности (замена нескольких слагаемых их суммой) и закон переместительности.

Округлением слагаемых можно пользоваться не только при сложении целых чисел, но и при сложении дробей, как обыкновенных, так и десятичных:

13 EMBED Equation.3 + 9 EMBED Equation.3 = ( 13 EMBED Equation.3 + EMBED Equation.3 ) + (9 EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 ) = 14 + (9 EMBED Equation.3 – EMBED Equation.3 ) = 23 EMBED Equation.3 ;

47,97 + 11, 38 = (47, 97 + 2, 03) + (11, 38 – 2, 03) = 50 + 9, 35 = 59, 35.

Можно округление применить к нескольким слагаемым сразу, и притом не за счет какого-либо из слагаемых:

597 + 196 + 299 = 600 + 200 + 300 – (3 + 4 + 1) = 1100 – 8 = 1092.

Рассмотрим теперь на примерах применение приема округления при вычитании:

56 – 38 = [(56 + 4) – 38] – 4 = (60 – 38) – 4 = 22 – 4 = 18.

4

Если уменьшаемое увеличить на несколько единиц, то остаток или разность, увеличится на столько же единиц. Поэтому, увеличив (округлив) 56 на 4, я должна из разности (она заключена в квадратные скобки) вычесть эти единицы:

72 – 15 = [(72 – 2) – 15] + 2 = (70 – 15) + 2 = 55 + 2 = 57.

Если уменьшаемое на несколько единиц уменьшить, то остаток, или разность, уменьшится на столько же единиц. Я уменьшила (округлила) уменьшаемое на 2, поэтому остаток (обозначен в квадратных скобках) я увеличила на 2 единицы:

752 – 298 = [752 – (298 + 2)] + 2 = (752 –300) + 2 = 452 + 2 = 454.

Если вычитаемое увеличить на несколько единиц, то остаток, или разность, уменьшится на столько же единиц.

Я увеличила (округлила) вычитаемое на 2, поэтому, чтобы остаток не уменьшился на 2, к нему прибавили 2:

93 – 22 = [93 – (22 –2)] – 2 = (93 –20) – 2 = 73 – 2 = 71.

Если вычитаемое уменьшится на несколько единиц, остаток, или разность, увеличится на столько же единиц.

Я уменьшила (округлила) вычитаемое на 2, поэтому остаток (в квадратной скобке) надо уменьшить на 2:

498 – 298 = 500 – 300 = 200.

572 – 352 = 570 – 350 = 220.

Если уменьшаемое и вычитаемое одновременно увеличить (или уменьшить) на одно и то же число единиц, остаток, или разность, остается без изменений.

Выполнить устно то или иное действие можно различными способами. Так, в рассмотренном выше примере на вычитание, 93 – 22, результат можно получить проще (учитывая данные в примере числа) путем разложения, вычитаемого на разряды:

93 – 20 – 2 = 73 – 2 = 71.

То же можно сказать и о вычитании чисел:

498 – 298.

Здесь числа таковы, что удобней вычитаемое разложить на два слагаемых: 200 и 98 и их «скинуть» по очереди с 498:

498 – 200 – 98 = 298 – 98 = 200.

Последний пример показывает нам, что вычитание удобно производить, когда единицы (или единицы и десятки ) уменьшаемого и вычитаемого одинаковы. Это можно использовать следующим образом: иногда полезно уравнять единицы (или единицы и десятки) уменьшаемого и вычитаемого:

471 – 176 = 476 – 176 – 5 = 300 – 5 = 295;

393 – 255 = 395 – 255 – 2 = 140 – 2 = 138;

577 – 372 = 577 –377 + 5 = 200 + 5 = 205;

859 – 625 = 859 – 629 + 4 = 230 + 4 = 234;

Легко убедиться, что выполнение вычитания путем разложения, вычитаемого на разряды и затем «сбрасывание» их с соответствующих разрядов уменьшаемого в только что рассмотренных четырех примерах будет не менее эффективным.

Перейдем к умножению:

5

35 х 18 = 35 х 20 – 35 х 2 = 700 – 70 = 630.

Я умножила 35 на 20, а не на 18, следовательно, взяла два «лишних» раза, поэтому из произведения (оно взято в скобку) надо вычесть 35 х 2.

Прием очень эффективный, если множимое «удобное» для умножение, а множитель близок к полному числу десятков или полному числу сотен.

К примеру, рассмотрев округление множимого:

198 х 3 = (200 – 2) х 3 = 600 – 6 = 594.

Я умножила на 3 не 198, а 200, следовательно, я взяли «лишних» 2 единицы 3 раза. Это произведение 2 х 3 надо «сбросить» с 600.

Прием округления множимого удобен, если оно близко к полным десяткам или сотням и если множитель – однозначное число (или число, выражающее круглые десятки или круглые сотни):

79 х 30 = (80 – 1) х 30 = 2400 – 30 = 2370.

Округление множимого или множителя не обязательно должно производиться путем их множителя их увеличения на несколько единиц, как это имело место в рассмотренных двух примерах на умножение путем округления сомножителей:

32 х 21 = 32 х (20 + 1) = (32 х 20) + (32 х 1) = 640 + 32 = 672.

Я взяла 32 двадцать раз и затем прибавляем 32, взятое еще один раз. Умножение в данном случае можно назвать умножением путем округления множителя, но можно его назвать умножением путем разложения множителя на два слагаемых, удобных для выполнения умножения.

203 х 16 = (200 + 3) х 16 = 3200 + 48 = 3248.

И здесь прием округления множимого привел к разложении. Его на два слагаемых, удобных для умножения 16.

Рассмотрим применение округление при делении:

596 : 4 = 600 : 4 – 4 : 4 = 150 – 1 = 150.

Я округлила делимое, увеличив на 4, следовательно, разделить не 596 на, а число большее на 4 единицы, иначе говоря, в частном у нас одна «лишняя» единица, получаемая от деления 4 на 4.

808 : 8 = (800 + 8) : 8 = 800 : 8 + 8 : 8 = 200 + 1 = 201.

Здесь округление делимого произведено за счет уменьшения его до круглых сотен. Округление в данном примере равносильно делению путем разложения делимого на разряды.

308 : 28 = (280 + 28) : 28 = 10 + 1 = 11.

В данном примере делимое «округлено», или разложении на два слагаемых так, что деление их на 28 стало удобным для выполнения устно.

Очень эффективен прием одновременного увеличения делимого и делителя:

225 : 75 = (225 х 2) : (75 х 2) = 450 : 150 = 3;

440 : 55 = 880 : 110 = 8.

Если делимое и делитель одновременно увеличить (или уменьшить) в одно и то же число раз, то величина частного не изменится.

6

ПРИЕМЫ ПЕРЕСТАНОВКИ.

Одним из приемов устного счета является прием перестановки слагаемых или перестановки сомножителей.

Пусть надо выполнить сложение чисел:

389 + 567 + 111.

Сложение этих чисел в порядке их написания довольно затруднено, и вы, вероятно, начнете писать слагаемые в столбик и выполнять сложение письменно.

Между тем достаточно написать слагаемые в том порядке, в каком их удобнее сложить (пользуясь переместительным свойством суммы: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется), и вычисление легко выполнить устно:

389 + 111 + 567 = 500 + 567 = 1067.

Вот еще несколько примеров такого сложения:

358 + 788 + 142 + 312 = (358 + 142) + (788 + 312) = 500 + 1100 = 1600;

6 EMBED Equation.3 + 7 EMBED Equation.3 + 2 EMBED Equation.3 = (6 EMBED Equation.3 + 2 EMBED Equation.3 ) + 7 EMBED Equation.3 = 9 + 7 EMBED Equation.3 = 16 EMBED Equation.3 ;

13,23 + 0, 75 + 4,77 + 1,25 = (13,23 + 4,77) + (0,75 + 1,25) = 18 + 2 = 20.

Кроме переместительного свойства суммы, я использовала также сочетательного свойства (сумма не изменится, если слагаемых соединить в группы, произвести сложение по группам, а затем сложить полученные результаты).

Пользуясь переместительным и сочетательным свойствами суммы можно выполнить устно сложение довольно сложных чисел:

2357 + 1998 + 3055 = (2357 + 43) + (1998 + 2) + 3010 = 2400 + 2000 + 3010 = 7410.

Здесь я взяла от третьего слагаемого 43 + 2 для округления первых двух слагаемых. Затем, использовав переместительное и сочетательное свойства суммы, выполнили сложение устно.

Не меньший эффект дает переместительное свойство произведения (от перемены мест сомножителей произведение не изменяется).

Рассмотрим несколько примеров:

4 х 53 х 25 = 25 х 4 х 53 = 100 х 53 = 53 х 100 = 5300;

3 х 124 = 124 х 3 = 300 + 72 = 372;

5 х 37 = 37 х 5 = 30 х 5 + 7 х 5 = 150 + 35 = 185;

4 х 8 х 13 х 5 х 125 х 25 = (4 х 25) х (8 х 125) х (13 х 5) = 100 х 1000 х 65 = 6 500 000.

При решении этих приемов я использовала следующие свойства действия умножения: при умножении нескольких сомножителей можно переместить места сомножителей, соединить их в отдельные группы, произвести умножение сомножителей по группам и затем перемножить полученные произведения.

Здесь будет уместным заметить об одной очень распространенной ошибке при выполнении умножения произведения нескольких чисел на какое-либо число. Пусть произведение 2 х 8 х 17 х 25 надо умножить на 5.

7

Учащиеся часто начинают умножать на 5 каждый из сомножителей данного произведений. Это грубая ошибка. Надо на 5 умножить один из сомножителей данного произведения:

(2 х 8 х 17 х 25) х 5 = 2 х 8 х 17 х 25 х 5.

Использовав переместительное и сочетательное свойства произведения, выполним вычисление устно:

2 х 8 х 17 х 25 х 5 = 2 х 5 х 17 х 25 х 8 = (2 х 5) х (25 х 8) х 17 = 10 х 200 х 17 = 34 000.

Рассмотрим еще пример:

2 EMBED Equation.3 х 17,05 умножить на 4.

Получив для вычисления такой «неудобный» с токи зрения учащихся пример, они иногда начинают для умножения первый сомножитель превращать в неправильную дробь и умножать его на 4, а второй сомножитель «в столбик» умножать на 4. Это, повторяем, грубая ошибка. Нужно только один из сомножитель умножать на 4. В данном примере выгодней умножить на 4 первый из сомножителей:

2 EMBED Equation.3 х 17,05 х 4 = 2 EMBED Equation.3 х 4 х 17,05 = 10 х 17,05 = 17,05 х 10 = 170,5.

Приведу еще один пример: 730 – 644 = 6 + 50 + 30 = 86.

Я вычитаю, последовательно дополняю до 650, затем до 700 и, наконец, до 730. Последовательные дополнения выписаны: 6 + 50 + 30. Конечно, при устном счете можно эти дополнения не писать, а только произносить: «шесть, пятьдесят, тридцать». Затем в уме же сложить числа либо в порядке их произведения, либо, воспользовавшись перестановкой слагаемых, сложить 50 воспользовавшись перестановкой слагаемых, сложить 50 и 30 и затем прибавить 6 к 80.

ПРИЕМЫ УМНОЖЕНИЯ НА 5, 50 и 500.

3,6 х 5 = 1,8 х 10 = 18;

85 х 5 = 42,5 х 10 = 425;

1248 х 5 = 6240;

7,5 х 5 = 3,75 х 10 = 37,5.

826 х 50 = 413 х 100 = 41 300;

7,2 х 50 = 3,6 х 100 = 360;

7,35 х 50 = 3,675 х 100 = 367,5.

2,51 х 500 = 1,255 х 1000 = 1255;



Страницы: Первая | 1 | 2 | 3 | ... | Вперед → | Последняя | Весь текст