Тема «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и си

Программа

профильного обучения элективного курса

по алгебре и началам анализа

Тема: «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы »

Составила

учитель математики

I квалификационной категории

лицея №2 г. Буинска РТ

Гафурова В.А.

г. Буинск, 2007

Пояснительная записка

Элективный курс профильного обучения посвящен одному из традиционных разделов элементарной математики: решению рациональных и иррациональных уравнений, неравенств и систем уравнений.

Задачи такого типа часто предлагаются прямым или косвенным образом в различных заданиях выпускных экзаменов средней школы, в заданиях уровня «А», «В» и «С» на ЕГЭ, и на вступительных экзаменах в ссузы и вузы.

Раздел элементарной математики рациональные уравнения, неравенства и системы является основополагающим и поэтому исключительно важным. Это обстоятельство обуславливается следующими двумя моментами.

Во- первых, именно на материале рациональных уравнений, неравенств и систем происходит знакомство школьника с основными понятиями и вырабатывается навык обращения с ними.

Во – вторых, решение задач с других разделов элементарной математики, либо непосредственно либо посредством операции замены сводится именно к решению рациональных уравнений, неравенств и систем.

Этот курс ставит своей целью на специально подобранном материале выработать умения и навыки, научиться применять основные методы рассуждений и технические приемы, наиболее часто встречающиеся при решении рациональных и иррациональных уравнений, неравенств и систем.

При подборе материала этого курса учитывалась экзаменационная практика прошлых лет, заданий ЕГЭ.

Помимо общетеоретических сведений и разнообразных задач в данный курс включены и задачи для самостоятельного решения, работа над которыми будет способствовать лучшему усвоению материала и закреплению приобретенных технических навыков.

Предлагаемый курс освещает намеченные, но совершенно не проработанные в общем курсе школьной математики вопросы. Стоит отметить, что навыки в применении этих подходов совершенно необходимы каждому ученику, желающему хорошо подготовиться для успешной сдачи конкурсных экзаменов, а также будет хорошим подспорьем для успешных выступлений на математических олимпиадах. Познавательный материал курса будет способствовать не только выработке умений и закреплению навыков, но и формированию устойчивого интереса учащихся к процессу и содержанию деятельности, а также познавательной и социальной активности.

Данный курс предусматривает формирование устойчивого интереса к предмету, выявление и развитие математических способностей, ориентацию на профессии, существенным образом связанные с математикой, выбору профиля дальнейшего обучения.

Данный курс рассчитан на 34 часа, предполагает компактное и четкое изложение теории вопроса, решение типовых задач, самостоятельную работу.

Предлагаемые задачи различны по уровню сложности: от простых упражнений на применение изученных формул до достаточно трудных заданий. Каждое занятие состоит из двух частей: задачи, решаемые с учителем, и задачи для самостоятельного (или домашнего) решения. Основные формы организации учебных занятий: лекция, объяснение, практическая работа, семинар. Разнообразный дидактический материал дает возможность отбирать дополнительные задания для учащихся разной степени подготовки: уровень сложности задач варьируется от простых до конкурсных и олимпиадных. Все занятия направлены на развитие интереса школьников к предмету, на расширение представлений об изучаемом материале, на решение новых и интересных задач.

Курс является открытым. В него можно добавлять новые фрагменты, развивать тематику или заменять какие- либо разделы другими. Главное, чтобы они были небольшими по объему, интересными для учащихся, соответствовали их возможностям. Программа мобильна, т.е. дает возможность уменьшить количество задач по данной теме. (так как многие задания предназначены на отработку навыков по одному типу задач) при установлении степени достижения результатов.

Программа может быть эффективно использована в 10-11 классах с любой степенью подготовленности, способствует развитию познавательных интересов, мышления учащихся, предоставляет возможность подготовиться к сознательному выбору профиля обучения и дальнейшей специализации.

Для учащихся, которые пока не проявляют заметной склонности к математике, эти занятия могут стать толчком в развитии интереса к предмету и вызвать желание узнать больше. Хотя при изучении курса не ставится цель выработки каких- либо специальных умений и навыков, при достаточно полном рассмотрении вопросов курса, несомненно, появится прогресс в подготовке учащихся.

Цели курса.

Выработать умения и навыки решать рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы.

Восполнить некоторые содержательные пробелы основного курса, придающие ему необходимую целостность.

Показать некоторые нестандартные приемы решения задач.

Рассмотреть основные методы, способы, приемы и подходы решения рациональных уравнений, неравенств и систем.

Научить различать, видеть основные приемы, подходы решения рациональных и иррациональных уравнений, неравенств и систем и применять их в традиционных и нетрадиционных примерах и задачах.

Развивать у учащихся интерес к решению рациональных, иррациональных уравнений, неравенств и систем неравенств, видеть красоту решения этих примеров.

Формировать качества мышления, характерные для математической деятельности и необходимые человеку для жизни в современном обществе.

Помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности.

Воспитывать чувство уверенности в себе, чувства удовлетворенности от приложенного труда.

Задачи курса.

— Научить учащихся решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем , сложности.

-Овладеть рядом математических умений на уровне свободного их использования.

-Помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.

Учебно- тематический план

Содержание

Количество часов

Раздел 1. Рациональные уравнения

7

§1 Метод замены

3

§2 Метод разложения на множители

3

Самостоятельная работа

1

Раздел 2. Рациональные неравенства

4

Самостоятельная работа

1

Раздел 3. Система рациональных уравнений.

§1. Однородные системы.

§2 Симметрические системы.

§3 Искусственные методы.

Самостоятельная работа

Раздел 4.Уравнения, неравенства и

системы уравнений, содержащие

неизвестное под знаком модуля.

§1 Метод раскрытия модулей.

§2 Некоторые частные приемы решения уравнений и неравенств с модулями.

Самостоятельная работа

8

3

2

2

1

6

3

2

1

Раздел 5.

Иррациональные уравнения и неравенства.

Самостоятельная работа

4

1

Раздел 6.

Использование тригонометрических замен

2

Заключительный урок

2

Содержание курса.

Тема. Рациональные уравнения.(7часов)

Метод замены. Метод разложения на множители.

Актуализируются знания по методу замены, по методу разложения на множители, формулы, вводятся новые подходы решения уравнении.

Методы обучения: беседа. Лекция. Объяснение.

Формы обучения: фронтальная работа, индивидуальная, разноуровневая.

Форма контроля: проверка индивидуальной домашней самостоятельной работы, решение текстовых заданий, самостоятельная работа.

Тема. Рациональные неравенства (4 часа)

Актуализируются прежние знания, рассматриваются новые подходы , приемы и их использование при решении задач. Формирование умений решать рациональные неравенства.

Методы обучения: лекция, беседа.

Формы обучения: индивидуальные домашние задания, дифференцированная (разноуровневая) работа.

Форма контроля: проверка самостоятельных работ, текстовых заданий.

Тема. Системы рациональных уравнений.(8 часов)

Актуализация прежних знаний, рассмотреть подходы решения однородных систем, симметрических систем, искусственных систем. Формирование умений решения систем уравнений.

Методы обучения: лекция, беседа, объяснение.

Формы обучения: групповая работа, индивидуальная, решение тренировочных упражнений.

Методы контроля: проверка дифференцированной самостоятельной работы.

Тема. Уравнения, неравенства и системы, содержащие неизвестное под знаком модуля. (6 часов)

Рассмотреть подходы, методы, приемы решения уравнений, неравенств и систем уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Решение заданий такого характера.

Методы обучения: лекция, объяснение.

Формы обучения: фронтальная, индивидуальная, разноуровневая работа.

Формы контроля: защита проектов.

Тема. Иррациональные уравнения и неравенства.(4 часа)

Актуализация имеющихся знаний, рассмотрение новых приемов решения иррациональных уравнений и неравенств.

Методы обучения: лекция, объяснение, беседа.

Формы обучения: фронтальная работа, индивидуальная работа, решение тренировочных задач.

Форма контроля: защита рефератов, проверка самостоятельных работ.

Тема. Использование тригонометрических замен.(2 часа)

Познакомить учащихся с методом использования тригонометрических замен. Формирование умений и навыков применять такие замены.

Формы обучения: лекция, объяснение.

Методы обучения: решение тренировочных упражнений, индивидуальная работа, фронтальная работа.

Формы контроля: проверка домашней контрольной работы, самостоятельной работы.

Заключительный урок(2 часа)- обобщение либо в виде защиты проектов по одной теме, либо групповая защита проектов по всему курсу.

Методические рекомендации.

Вводная беседа.

Рациональные уравнения.

Вводится понятие рациональной функции, которое понадобится в этом и следующем разделах. Рациональной функцией от аргумента х называется такая функция, аналитическое выражение которой строится из х и констант с помощью операций арифметики (сложение, вычитание, умножение, деление) и операции возведения в натуральную степень. Согласно другому, но эквивалентному приведенному, варианту определения, рациональной называется такая функция, которая представима в виде отношения двух многочленов. Рациональным уравнением называется такое уравнение, у которого и левая, и правая части являются рациональными функциями. Здесь также возможен эквивалентный вариант, а именно: рациональным называется уравнение вида R(x) =0, где R(x) – рациональная функция. Легко усматривается, что решение рационального уравнения сводится к решению уравнений вида P(x)=0, где P(x)- некоторый многочлен. Если при этом степень многочлена Р(х) не превышает двух, то уравнение решается стандартными средствами, поскольку является либо линейными, либо квадратным. Если же степень многочлена Р(х) больше двух, то решение означенного уравнения требует специальных приемов.

§ 1. Метод замены.

Биквадратные уравнения ах4 +bх2 +с=0 Делая замену t= x2 можно переписать исходное уравнение в виде квадратного уравнения at2 +bt +c=0, найти его решение (если, конечно, они существуют), а уже затем восстановить, исходя из найденных значений t, искомые решения х исходного уравнения. Решение уравнений.

Решение возвратного уравнения. Возвратное (симметричное) уравнение, отличительной особенностью которого является равенство коэффициентов, равностоящих от концов стоящей в левой части уравнения многочлена.

Однородные уравнения. Уравнения вида au + bv =0 называется однородным уравнением первой степени, au2 + buv + cv2 =0 называется однородным уравнением второй степени, au3+ bu2 v + cuv2+ dv3 =0 называется однородным уравнением третьей степени относительно u и v и так далее. Поделив обе части однородного уравнения k- ой степени на vk , мы получим уравнение с одним неизвестным y= u/ v . При этом, разумеется. Отдельно должен быть рассмотрен случай, когда v= 0. Рассматривается уравнение, сводящееся к однородному.

§2. Метод разложения на множители.

Рассматриваются уравнения вида Р(x) =0, где Р(x) – многочлен с целыми коэффициентами, и решать их, раскладывая многочлен Р(x) на множители. Процедура этого разложения основывается на следующих двух утверждениях.

Утверждение 1. Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена an xn + an-1 x n-1 + …+ a1 x + a 0 с целыми коэффициентами an , an-1, …+ a1 + a 0. Тогда аn делится на q, а а 0 делится на p.

Утверждение 2. Пусть несократимая дробь p/q является корнем многочлена Р(x) с целыми коэффициентами. Тогда Р(x)= (qx- p) Q(x), где Q(x)- также многочлен с целыми коэффициентами, причем его степень на единицу меньше степени многочлена Р(x).

Особенно важным в практическом отношении является случай. Когда многочлен Р(x) имеет приведенную форму, то есть когда a n=1.

В применении к таким (приведенным) многочленам сформулированные выше утверждения 1 и 2 преобразуются в

Утверждение 3. Пусть целое число х0 является корнем приведенного многочлена с целыми коэффициентами. Тогда свободный член этого многочлена делится на х0.

Утверждение 4. Пусть х0- целый корень приведенного многочлена Р(х) с целыми коэффициентами. Тогда Р(х) = (х- х0) Q(x), где Q(x) – также многочлен с целыми коэффициентами, причем его степень на единицу меньше степени многочлена Р(х)

Практическое использование утверждений 3 и 4 в применении к приведенному многочлену Р(х) с целыми коэффициентами состоит в следующем. Сначала составляется список всех целых делителей свободного члена многочлена Р(х). Входящие в этот список числа последовательно проверяются (непосредственной подстановкой в Р(х)) до момента нахождения числа х0 ,являющегося корнем многочлена Р(х). После этого входящие в Р (х) слагаемые группируются таким образом, чтобы реализовать разложение Р(х)= (х-х0) Q(x). Примеры решения задач.

Рациональные неравенства

Используя введенное в разделе 1 понятие рациональной функции, можно определить рациональное неравенство как неравенство, правая и левая части которого являются рациональными функциями. По- другому рациональное неравенство можно определить как неравенство, имеющее один из следующих видов

R(x)>0, R(x)<0, R (x)≤0, R(x)0, где R(x)- рациональная функция.

Рациональные неравенства решаются методом интервалов. Пусть нам предстоит решить рациональное неравенство R(x)^0, где ^- некоторый из знаков ≥‚≥‚<,>. Разложим числитель и знаменатель функции R(x) на множители двух типов: линейные и квадратичные с отрицательным дискриминантом. Отметим, что возможность такого разложения устанавливается в высшей алгебре. Квадратичные множители с отрицательным дискриминантом являются знакоопределенными (не меняют знака), а следовательно знак R(x) полностью зависит от знаков линейных множителей. Очевидно, что корень линейного множителя разделяет числовую ось на два участка, в одном из которых этот множитель знакоположителен, а в другом знакоотрицателен. Поэтому смена знака функции R(x) возможна только при переходе через корень того или иного линейного множителя. Отсюда становится понятной предлагаемая процедура решения рациональных неравенств. Надо нанести на числовую ось все корни линейных множителей, а затем, двигаясь по числовой оси, отмечать знак функции R(x) на различных участках, следя за возможной сменой знака функции R(x) при переходе через корни линейных множителей. Затем, уже определив знаки R(x) на различных участках, следует обратить внимание на то, входят ли граничные точки (точки, которые разделяют участки) в ответ. Решение задач.

III. Система рациональных уравнений.

Наиболее распространенным методом решения систем уравнений в школьной практике, например систем двух уравнений с двумя неизвестными, является метод подстановки в простейшей форме, когда, используя одно уравнение системы, выражают какое- либо неизвестное через другое, а затем подставляют найденное выражение в неиспользованное уравнение системы. Результатом таких действий является сведение системы к уравнению. Такой метод хорошо работает, если хотя бы одно из уравнений системы- линейное. В противном случае значительные сложности могут возникнуть уже на первом этапе решения, когда одно неизвестное выражается через другое. В такой ситуации надо применить, как правило, метод замены, выбирая эту замену с учетом особенностей конкретной системы.

§1. Однородные системы.

Система двух уравнений с двумя неизвестными называется однородной системой порядка n ( n- натуральное число), если оно имеет вид

a0 xn+ a1xn-1y+ a2 xn-2y2+……+ anyn= c

b0 xn+ b1xn-1y+ b2 xn-2y2+……+ bnyn= d

Однородные системы решают следующим способом. Из первого уравнения , предварительно умноженного на d, вычитают второе уравнение, предварительно умноженное на c. В результате получается однородное уравнение, описанное в конце раздела §1 раздела 1 (Литература№1). Используя описанную там методику, можно из полученного уравнений найти отношение y/x, что откроет путь к решению всей системы, поскольку появится возможность простого выражения одного неизвестного через другое и последующей подстановки. Решение систем.

§2 Симметрические системы.

Метод решения симметрических систем основан на том. Что симметрические многочлены переменных х, у могут быть выражены через симметрические многочлены х+у и ху, называемые основными. В связи с этим оказывается весьма эффективной замена u=x+y, v=xy, существенно упрощающая систему. Решение примеров.

§3 Искусственные методы.

В двух предыдущих параграфах данного раздела были описаны методы решения рациональных систем, имеющие алгоритмический характер. Но эти методы не являются универсальными, и некоторые системы им не поддаются. В этой ситуации следует искать способ такого преобразования исходной системы, который привел бы ее к виду, допускающему применение стандартных методов решения. При решении той или иной конкретной системы приходится это преобразование находить методом проб и ошибок. Но ошибок можно сделать существенно меньше, если предварительно ознакомиться и сохранить в памяти хотя бы несколько различных примеров упомянутых преобразований. Разобрав задачи данного типа, учащиеся выработают интуицию в нахождении мотивов эффективных преобразований различных систем. Решение математических уравнений.

IV. Уравнения, неравенства и системы уравнений, содержащие неизвестное под знаком модуля.

Два основных метода решения уравнений. Неравенств и систем уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Первый метод основан на избавлении от модулей согласно их определению. Второй метод основан на избавлении от модулей посредством операции возвышения уравнения или неравенства в квадрат и перехода к системе.

§1 Метод раскрытия модулей.

Пусть нам предстоит решить уравнение, содержащее неизвестное под знаком модуля. Разобьем числовую прямую на участки знакопостоянства подмодульного выражения и на каждом из этих участков раскроем модуль согласно определению. В результате таких действий исходное уравнение преобразуется в уравнение, уже не содержащее модуля. Решим его и запишем в ответ найденные решения, если они входят в рассматриваемый на данном этапе участок. Проделав эту процедуру для каждого из возникающих участков, получим окончательный ответ. Решение примеров.

Решение системы с модулями осуществляется в точности таким же способом, как решение уравнений с модулями. Однако при этом возможна ситуация, когда система вырождается в уравнение, и тогда возникают некоторые технологические трудности при формировании ответа. Решение примеров.

§ 2 Некоторые частные приемы решения уравнений и неравенств с модулями.

Рассмотренная в §1 методика решения уравнений. Неравенств и систем с модулями является универсальной, но приводящей иногда к необходимости утомительного рассмотрения многочисленных случаев. Поэтому к ней следует обращаться тогда, когда более простые приемы, основанные на конкретных особенностях рассматриваемой задачи, не срабатывают. Более простые приемы- это приемы, использующие для устранения модулей операцию возвышения в квадрат и сведения рассматриваемого уравнения или неравенства к системе уравнений или неравенств, уже не содержащих модули. Решение примеров.

Иррациональные уравнения и неравенства.

Основным методом решения иррациональных уравнений и неравенств является метод освобождения от радикалов, использующий для этого процедуру возвышения обеих частей уравнения или неравенства в ту или иную степень. Эта процедура нарушает требования равносильных преобразований уравнения или неравенства, поэтому поговорим об этом подробнее.

При возвышении уравнения в квадрат (это наиболее часто встречающийся случай) мы получаем так называемое следствие, то есть уравнение, сохранившее все корни исходного уравнения, но приобретшее, быть может, посторонние корни, не являющиеся корнями исходного уравнения. Поэтому, если мы применяем процедуру возвышения уравнения в квадрат, без каких- либо ограничений и оговорок, то обязаны проверить найденные, в конце концов, решения полученного следствия подстановкой в исходное уравнение.

Если мы возвышаем в квадрат уравнение, обе части которого определены и неотрицательны на некотором множестве, то возведенное в квадрат уравнение равносильно исходному на упомянутом множестве. То же самое может быть сказано применительно к процедуре возвышения в квадрат неравенств.

Основным элементом решения иррационального неравенства является возведение его на том или ином этапе решения в квадрат. К этой операции следует готовиться, добиваясь того, чтобы знаки левой и правой частей подлежащего возвышению в квадрат неравенства были определены на участках их знакопостоянства. Если обе части неравенства неотрицательны, операция возвышения в квадрат допустима, то есть приводит к равносильному неравенству. Решение примеров.

VI. Использование тригонометрических замен.

VII. Защита рефератов, проектов по одному из разделов по всему курсу

Данный элективный курс «Рациональные и иррациональные уравнения, неравенства и системы » задает примерный объем знаний, умений и навыков, которыми должны овладеть школьники. Сюда входят знания, умения и навыки, обязательное приобретение которых предусматривает программа общеобразовательной школы: однако предполагается более высокое качество их сформированности. Учащиеся должны научиться решать задачи более высокой, по сравнению с обязательным уровнем сложности, овладеть рядом технических и интеллектуальных умений на уровне их свободного использования. Следует отметить, что требования к знаниям и умениям ни в коем случае не должны быть завышены, чрезмерность требований порождает перегрузку и ведет к угасанию интереса. Одна из целей преподавания данного курса- помочь осознать ученику степень значимости своего интереса к математике и оценить свои возможности. Поэтому интерес и склонность учащегося к занятиям на курсах должны всемерно подкрепляться.



Страницы: 1 | 2 | Весь текст