Реферат по методологии научных исследований на тему Компьютерно

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ГОУВПО Самарский государственный архитектурно-строительный университет

Факультет информационных систем и технологий

Кафедра прикладной математики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

по методологии научных исследований

на тему:

Компьютерное моделирование и исследование эволюции простейших мультиагентных сообществ.

Подпись, дата

Расшифровка подписи

ВЫПОЛНИЛ:

студент

Поляков В.О

/ /

ПРОВЕРИЛ:

д.т.н, проф.

Пиявский С.А.

/ /

Самара

2008

Введение в теорию клеточных автоматов.

Реальные объекты и процессы бывают столь многогранны и сложны, что лучшим способом их изучения часто является построение модели, отображающей какую-то грань реальности и потому многократно более простой, чем эта реальность, и исследование вначале этой модели.

Многовековой опыт развития науки доказал на практике плодотворность такого подхода.

Моделирование ныне приобрело общенаучный характер и применяется в исследованиях живой и неживой природы, в науках о человеке и обществе.

Моделирование в научных исследованиях стало применяться еще в глубокой древности и постепенно захватывало все новые области научных знаний: техническое конструирование, строительство и архитектуру, астрономию, физику, химию, биологию и, наконец, общественные науки. Большие успехи и признание практически во всех отраслях современной науки принес методу моделирования ХХ в. Однако методология моделирования долгое время развивалась независимо отдельными науками. Отсутствовала единая система понятий, единая терминология. Лишь постепенно стала осознаваться роль моделирования как универсального метода научного познания.

Развитие теоретических основ моделирования и развитие новых, более современных подходов к моделированию сложных процессов, имеющих пороговых характер, является важным аспектом современных исследований.

Традиционно применяемый аппарат дифференциальных уравнений не всегда эффективен и требует больших затрат времени и мощностей. В последние десятилетия все большее применение находит подход клеточных автоматов и теории игр.

Теория клеточных автоматов основана на моделировании сложных систем, состоящих из простых подсистем, результатом коллективного функционирования которых является сложное поведение всей системы в целом. Модели клеточных автоматов явным образом сводят макроскопические явления к точно определенным микроскопическим процессам. Такой подход учитывает реальную физику процесса, позволяя задавать сложные граничные условия, рассматривать сложные фазовые переходы с промежуточными соединениями, выдвигать различные гипотезы относительно формирования фаз и распределения полей концентраций и температур, что является невозможным в случае с дифференциальными уравнениями.

Кле́точный автома́т (КА) — набор клеток, образующих некоторую периодическую решетку с заданными правилами перехода, определяющими состояние клетки в следующий момент времени через состояние клеток, находящимися от нее на расстоянии не больше некоторого, в текущий момент времени. Как правило, рассматриваются автоматы, где состояние определяется самой клеткой и ближайшими соседями. В качестве решетки обычно рассматривается кубическая решетка. Один из самых интересных примеров клеточного автомата — игра Конуэя «Жизнь».

Клеточный автомат состоит из набора объектов (ячеек), обычно образующих регулярную решетку. Состояние отдельно взятого i-го объекта (или ячейки) в момент времени N характеризуется некоторой переменной, которая может быть целым, действительным или комплексным числом, либо представлять собой набор из нескольких чисел. Рассматриваемые состояния ячеек изменяются синхронным образом через дискретные интервалы времени в соответствии с локальными вероятностными правилами, которые могут зависеть от состояния переменных в ближайших соседних узлах. Эти правила не меняются со временем.

Клеточный автомат является дискретной динамической системой, поведение которой полностью определяется в терминах локальных зависимостей. Назовём дискретным пространством пространство над дискретным множеством элементов. Экземпляр пространства этого класса будем называть решёткой клеточного автомата, а каждый его элемент — клеткой. Каждая клетка характеризуется определённым значением из некого множества.

Теория игр — математический метод изучения оптимальных HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%82%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%B3%D0%B8%D1%8F_(%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0)» \o «Стратегия (математика)» стратегий в HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%B0» \o «Игра» играх. Под игрой понимается процесс, в котором участвуют две и более сторон, ведущих борьбу за реализацию своих интересов. Каждая из сторон имеет свою цель и использует некоторую стратегию, которая может вести к выигрышу или проигрышу — в зависимости от поведения других игроков. Теория игр помогает выбрать лучшие стратегии с учётом представлений о других участниках, их HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D1%81%D1%83%D1%80%D1%81» \o «Ресурс» ресурсах и их возможных поступках.

Теория игр — это раздел HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0» \o «Прикладная математика» прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят применение в HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0» \o «Экономика» экономике, чуть реже в других HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D0%B1%D1%89%D0%B5%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B5_%D0%BD%D0%B0%D1%83%D0%BA%D0%B8» \o «Общественные науки» общественных науках — HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BE%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F» \o «Социология» социологии, HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0» \o «Политика» политологии, HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%81%D0%B8%D1%85%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8%D1%8F» \o «Психология» психологии, HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%AD%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0» \o «Этика» этике и других. Начиная с HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/1970-%D0%B5» \o «1970-е» 1970-х годов её взяли на вооружение HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%91%D0%B8%D0%BE%D0%BB%D0%BE%D0%B3%D0%B8» \o «Биологи» биологи для исследования поведения животных и HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D1%8D%D0%B2%D0%BE%D0%BB%D1%8E%D1%86%D0%B8%D0%B8» \o «Теория эволюции» теории эволюции. Очень важное значение она имеет для HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D1%81%D0%BA%D1%83%D1%81%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B8%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82» \o «Искусственный интеллект» искусственного интеллекта и HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B8%D0%B1%D0%B5%D1%80%D0%BD%D0%B5%D1%82%D0%B8%D0%BA%D0%B0» \o «Кибернетика» кибернетики, особенно с проявлением интереса к HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%BB%D0%B5%D0%BA%D1%82%D1%83%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%B0%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%82» \o «Интеллектуальный агент» интеллектуальным агентам.

Теория игр берёт своё начало из HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/w/index.php?title=%D0%9D%D0%B5%D0%BE%D0%BA%D0%BB%D0%B0%D1%81%D1%81%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BA%D0%BE%D0%BD%D0%BE%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0&action=edit&redlink=1» \o «Неоклассическая экономика (страница отсутствует)» неоклассической экономики. Впервые математические аспекты и приложения теории были изложены в классической книге HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/1944_%D0%B3%D0%BE%D0%B4» \o «1944 год» 1944 года HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%B9%D0%BC%D0%B0%D0%BD,_%D0%94%D0%B6%D0%BE%D0%BD_%D1%84%D0%BE%D0%BD» \o «Нейман, Джон фон» Джона фон Неймана и HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%BE%D1%80%D0%B3%D0%B5%D0%BD%D1%88%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BD,_%D0%9E%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%80» \o «Моргенштерн, Оскар» Оскара Моргенштерна «Теория игр и экономического поведения» ( HYPERLINK «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BD%D0%B3%D0%BB%D0%B8%D0%B9%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D1%8F%D0%B7%D1%8B%D0%BA» \o «Английский язык» англ. Theory of Games and Economic Behavior).

Введение в популяционные исследования.

Математические модели динамики биологических популяций — наиболее разработанный раздел математической экологии: многочисленные исследования, проводимые в этой области, обобщены в целом ряде монографий, обзор и соответствующие ссылки на которые можно найти в работах Э. Пилу (Pielou, 1974, 1977), Ю.М. Свирежева и Д.О. Логофета (1978), Г.С. Розенберга (1984), А.Д. Базыкина (1985), Ю.П. Фролова и Г.С. Розенберга (2002), Э.В. Ивантера и А.В. Коросова (2003) и многих других.

Теория потенциальной эффективности сложных систем представляет собой один из наиболее интересных инструментов моделирования структуры и динамики популяций и последовательно разрабатывается Б.С. Флейшманом (1971, 1982), основополагающие результаты которого и будем использовать при построении законов теоретической экологии на популяционном уровне.

«Искусственная жизнь» – молодое междисциплинарное направление исследований. Предметом исследования искусственной жизни является эволюция сложных систем, а основным методом – построение компьютерных моделей. Модели искусственной жизни находят свое применение в теоретических областях исследований возникновения жизни, биологической эволюции, коллективного поведения, социальной эволюции. Чтобы понять место искусственной жизни среди других методов, рассмотрим основные этапы развития математического моделирования.

Потребность в моделях искусственной жизни возникает, когда из-за сложности и разнообразия поведения отдельных индивидуумов (например, в зависимости от локального окружения) трудно или невозможно получить систему уравнений, описывающих динамику популяции. При этом сами результаты компьютерных экспериментов могут помочь в поиске приемлемых аналитических моделей. Кроме того, многоагентное моделирование может быть использовано в качестве альтернативы или для верификации результатов численного решения системы уравнений.

Современная наука остро нуждается в новых инструментах для теоретических и прикладных исследований сложных систем. Искусственная жизнь, базирующаяся на эволюционной идеологии и синтезе методов нелинейной динамики, синергетики и компьютерного моделирования, претендует на роль одного из таких инструментов.

Классическая теория игр, ориентированная на поиск статической оптимальной стратегии, сначала была применена в теоретической биологии для моделирования эволюции в популяции, а затем полученные результаты были использованы и для развития самой теории игр, но уже в направлении исследования динамики стратегий. Эта ветвь теории игр называется эволюционная теория игр и посвящена динамической устойчивостью стратегий.

Постановка задачи исследования и используемые методы.

Игра «Жизнь» — клеточный автомат, придуманный английским математиком Джоном Конуэем (John Horton Conway) в 1970 году. Описание этой игры было опубликовано в октябрьском выпуске журнала Scientific American (1970 г.), в рубрике «Математические игры» Мартина Гарднера (Martin Gardner).

Рисунок 1 – Моделирующая игра «Жизнь» Д. Конуэя

Игра «Жизнь» относится к категории так называемых моделирующих игр — игр, которые в той или иной степени имитируют процессы, происходящие в реальной жизни. Действие игры происходит на некой плоскости, разделенной на клетки. Каждая клетка окружена 8 такими же клетками (окрестность Мура). Каждая клетка может находиться в двух состояниях — живом или мертвом, т. е. пустом.

На состояние любой клетки оказывают влияние состояние соседних клеток. Во времени эти состояния дискретно в соответствии с некоторыми правилами или ГЕНЕТИЧЕСКИМИ ЗАКОНАМИ КОНУЭЯ, состоящими из 2пунктов:

ВЫЖИВАНИЕ ИЛИ ГИБЕЛЬ.

Если живая клетка имеет меньше 2 или более 3 соседей в окрестности из восемь клеток то в следующем поколении она умирает.

РОЖДЕНИЕ. В пустой клетке появляется живая клетка, если у исходной клетки ровно 3 соседа.

Гибель и рождение всех организмов происходит одновременно. Возникающие в игре ситуации очень похожи на реальные процессы, происходящие при зарождении, развитии и гибели живых организмовОсновная идея игры состоит в том, чтобы, начав с какого-нибудь простого расположения живых клеток, проследить за эволюцией исходной позиции под действием упоминавшихся ГЕНЕТИЧЕСКИХ ЗАКОНОВ, которые управляют рождением, гибелью и выживанием клеток.

Простейший алгоритм последовательно просматривает все ячейки решетки и для каждой ячейки подсчитывает соседей, определяя судьбу каждой клетки (не изменится, умрет, родится). Более сложный, но и более быстрый алгоритм составляет списки клеток для просмотра в последующем поколении, клетки, которые не могут измениться, в списки не вносятся.

Моделирующая игра Конуэя «Жизнь» реализует свой алгоритм в зависимости от геометрического положения особей, не учитывая возможные особенности поведения самих особей. Таким образом, особи в модели Конуэя становятся безвольными существами, не способными выбирать линию взаимодействия со своими соседями. Это — так называемые особи одного типа. Однако, в теории игр существуют алгоритмы, способные учитывать особенности поведения, повадки моделируемых популяций. Одним из ярких примеров такого алгоритма является «Дилемма заключённого».

Введение в «Дилемму заключённого».

В HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80» \o «Теория игр» теории игр дилемма заключённого (реже употребляется название «дилемма бандита») — HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%9D%D0%B5%D0%BA%D0%BE%D0%BE%D0%BF%D0%B5%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%B0» \o «Некооперативная игра» некооперативная игра, в которой HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%98%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA_(%D1%82%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80)» \o «Игрок (теория игр)» игроки стремятся получить выгоду, сотрудничая друг с другом или предавая. Как во всей HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%A2%D0%B5%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B3%D1%80» \o «Теория игр» теории игр, предполагается, что игрок («заключённый») максимизирует свой собственный выигрыш, не заботясь о выгоде других.

В дилемме заключённого предательство строго доминирует над сотрудничеством, поэтому единственное возможное равновесие — предательство обоих участников. Проще говоря, неважно, что сделает другой игрок, каждый выиграет больше, если предаст. Поскольку в любой ситуации предать выгоднее, чем сотрудничать, все рациональные игроки выберут предательство.

Ведя себя по отдельности HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%A0%D0%B0%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C» \o «Рациональность» рационально, вместе участники приходят к нерациональному решению: если оба предадут, они получат в сумме меньший выигрыш, чем если бы сотрудничали (единственное равновесие в этой игре не ведёт к HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%9F%D0%B0%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BE-%D0%BE%D0%BF%D1%82%D0%B8%D0%BC%D1%83%D0%BC» \o «Парето-оптимум» Парето-оптимальному решению). В этом и заключается дилемма.

Во всех судебных системах кара за HYPERLINK «mhtml:file://C:\\Users\\Acer\\Desktop\\Универ\\К%20реферату\\Дилемма%20заключённого%20—%20Википедия.mht!/wiki/%D0%91%D0%B0%D0%BD%D0%B4%D0%B8%D1%82%D0%B8%D0%B7%D0%BC» \o «Бандитизм» бандитизм (совершение преступлений в составе организованной группы) намного тяжелее, чем за те же преступления, совершённые в одиночку (отсюда альтернативное название — «дилемма бандита»).

Классическая формулировка дилеммы заключённого такова:

Двое преступников, А и Б, попались примерно в одно и тоже время на сходных преступлениях. Есть основания полагать, что они действовали по сговору, и полиция, изолировав их друг от друга, предлагает им одну и ту же сделку: если один свидетельствует против другого, а тот хранит молчание, то первый освобождается за помощь следствию, а второй получает максимальный срок (10 лет). Если оба молчат, дело проходит по другой статье, и они приговариваются к 6 месяцам. Если оба свидетельствуют против друг друга, они получают минимальный срок (по 2 года). Каждый заключённый выбирает, молчать или свидетельствовать против другого. Однако ни один из них не знает точно, что сделает другой. Что произойдёт?

Игру можно представить в виде следующей таблицы:

Заключённый Б хранит молчание

Заключённый Б даёт показания

Заключённый А хранит молчание

Оба получают полгода.

А получает 10 лет,Б освобождается

Заключённый А даёт показания

А освобождается,Б получает 10 лет тюрьмы

Оба получают 2 года тюрьмы

«Дилемма заключённого» в нормальной форме.

Дилемма появляется, если предположить, что оба заботятся только о минимизации собственного срока заключения.

Представим рассуждения одного из заключённых. Если партнёр молчит, то лучше его предать и выйти на свободу (иначе — полгода тюрьмы). Если партнёр свидетельствует, то лучше тоже свидетельствовать против него, чтобы получить 2 года (иначе — 10 лет). Стратегия «свидетельствовать» строго доминирует над стратегией «молчать». Аналогично другой заключённый приходит к тому же выводу.

С точки зрения группы (этих двух заключённых) лучше всего сотрудничать друг с другом, хранить молчание и получить по полгода, так как это уменьшит суммарный срок заключения. Любое другое решение будет менее выгодным.

Слияние игры «Жизнь» и «Дилеммы заключённого».

В основу проведённой автором работы легло слияние в единую моделирующую систему игру «Жизнь» и «Дилемму заключённого». Перед началом создания моделирующей программы необходимо чётко определить, что она должна делать. Т.е. необходимо создать систему тезисов:

Существует два типа особей.

Особи могут умирать и рождаться, в зависимости от взаимодействия друг с другом.

Взаимодействие особей определятся матрицей их поведения при парной встрече.

Характер взаимодействия особей: напасть, игнорировать, сотрудничать.

Возможные результаты парного взаимодействия: рождение новой особи, смерть особи, сохранение исходного состояния, улучшение состояния на 10%.

Результат взаимодействия в зависимости от поведения особей реализуется с некоторой вероятностью.

Поведение особей каждого сообщества вероятностно и определено моралью данного сообщества.

Моделирующая программа.

Матрица смешанных стратегий.

Позволяет пользователю вводить вероятностное значение, с которым особи популяции А или В выберут ту или иную стратегию поведения.

Существуют следующие стратегии поведения: нападение, отказ от контакта и сотрудничество.

Рисунок 2 – Форма задания матрицы смешанных стратегий

Количественные параметры популяции.

Позволяют пользователю регулировать численность популяций А и В.

Рисунок 3 – Форма задания численности популяций

Матрица значимости.

Позволяет пользователю задавать очки значимости, получаемые популяциями в зависимости от выбранных схем поведения. Возможны следующие события: убийство соперника, рождение новой особи и сохранение состояния.

То или иное событие может произойти с некоторой вероятностью.

Вероятность выигрыша зависит от мощности своей популяции:

Va = 50+ (Pa/(Pa+Pb) – 50%)

Vb = 50+ (Pb/(Pa+Pb) – 50%)

Va – вероятность выигрыша для популяции A

Vb – вероятность выигрыша для популяции B

Pa –численность популяции A

Pb –численность популяции B

Рисунок 4 – Форма задания значений матрицы значимости

Таблицы результатов.

Отображают количественные результаты текущего и всех предыдущих экспериментов.

Рисунок 5 – Общий вид программы. Таблицы результатов.

База данных.

Рисунок 6 – Схема данных

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

Пиявский, С.А. Системы поддержки принятия решений в образовании: Учебное пособие [Текст]/ С.А. Пиявский. СГАСУ. – Самара, 2005. – 344 с.

Пиявский, С.А., Информационные системы и технологии: Методические указания по дипломному проектированию [Текст]/ С.А. Пиявский, В.П. Дерябкин. — СГАСУ. — Самара, 2006. – 31 с.

Мишакова, В.Н., Генетика в школьном курсе биологии: учебно-методическое пособие [Текст]/ В.Н. Мишакова, О.А Гурина; ООИПКРО. – Оренбург, 2008 – 461 с.

Т. Тоффоли, Н. Марголус, Машины клеточных автоматов [Текст], М.: «Мир»,ISBN 5-03-001619-8. – Москва,1991. — 356с.

Барабашева, Ю.М., Некоторые модели динамики численностей взаимодействующих видов с точки зрения математической статистики [Текст]/ Барабашева, Ю.М., Девяткова Г.Н., Тутубалин В.Н., Угер Е.Г. — М.: Журнал общей биологии, 1996.- С.123 – 139.

Дегерменджи А.Г. Механизмы и критерий сосуществования взаимодействующих микробных популяций в проточных системах (гомогенных и пространственно разделенных) // Экологический прогноз. М.: Изд-во Моск. ун-та. 1986. – С.57 – 69.

Глушаков С. В. «Программирование на Java 2. Учебный курс» – Москва, 2005, 241с.

Высшая математика. Лекции, курсовые, примеры решения задач [Электронный ресурс] – Режим доступа: HYPERLINK «http://www.matclub.ru» http://www.matclub.ru.

Статистическая обработка экспериментальных данных [электронный ресурс] – Режим доступа: http:// HYPERLINK «http://www.novsu.ru» www.novsu.ru.

Теория вероятностей и математическая статистика в аналитической химии [электронный ресурс] – Режим доступа: http://www.hemstat.com.ru.