Реферат Проблемы Гильберта и советская математика

ГОУ Гимназия №1505

«Московская городская педагогическая гимназия-лаборатория»

Реферат

Проблемы Гильберта и советская математика

автор: ученица 9 класса «А»

Ефремова Екатерина

Руководитель: Дегтярева Т.В.

Москва

2013

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………………………………………………………2

§1. Краткая биография Давида Гильберта………………………………………………………………………4

§2. Прблемы Гильберта……………………………………………………………………………………………………5

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта………………………………….7

§4. Проблемы, решенные советскими математиками…………………………………………………….9

Заключение……………………………………………………………………………………………………………………..10

Список литературы………………………………………………………………………………………………………..11

Введение

Мой реферат посвящён статье о проблемах Гильберта и советской математике. Статью написал Демидов, а опубликована была в ноябрьском номере физико-математического научно-популярного журнала «Квант» в 1977 году.

Этот журнал для школьников и студентов рассчитывался на массового читателя. Во время выпуска статьи журнал выпускался изданием «Наука». Идею создания «Кванта» первым высказал академик Пётр Леонидович Капица в 1964 году, и только в январе 1970 года вышел в свет первый номер журнала, в котором главным редактором стал академик Исаак Константинович Кикоин. По оценкам экспертов ЮНЕСКО в 1985 году «Квант» являлся уникальным в своём жанре журналом.

Проблемы Гильберта — это список двадцати трёх кардинальных проблем математики, представленные Давидом Гильбертом на втором Международном Конгрессе математиков в Париже в 1900 году. Эти проблемы охватывали основания математики (1, 2 проблемы), алгебру (13, 14, 17 проблемы), теорию чисел (7, 8, 9, 10, 11, 12 проблемы), геометрию (3, 4, 18 проблемы), топологию (16 проблема), алгебраическую геометрию (12, 13, 14, 15, 16, 22 проблемы), группы Ли (5, 14, 18 проблемы), вещественный и комплексный анализ (13, 22 проблемы), дифференциальные уравнения (16, 19, 20, 21 проблемы), математическую физику и теорию вероятностей (6 проблема), а так же вариационное исчисление (23 проблема). Тогда эти проблемы не были решены. На данный момент уже решены девятнадцать из двадцати трех, а точнее пятнадцать решены, а остальные четыре имеют только частичное решение. Ещё две не являются корректными математическими проблемами, так как одна сформулирована слишком не четко, что бы понять, решена она или нет, а вторая скорее физическая, а не математическая. Ответ для оставшихся двух (8,16) до сих пор является загадкой.

Но акцент в этой статье делается не на проблемы Гильберта, а именно на советскую математику. В ней рассказывается, что Россия долго не была мощной математической державой, подобно Франции и Германии. К тому времени Россия обладала признанными математическими школами и дала миру выдающихся математиков, таких как Лобачевский и Чебышева. В статье Демидова показывается, как Россия росла в науке, как достигала вершин в математике. Я считаю, что это важно, так как показывается, что не всё даётся сразу, и что всего надо добиваться услиями. Что даже для того, что бы получить всемирное признание учёным пришлось пройти огромный путь в науке.

Эта статья написана по книге, которая рассказывает о достижениях ученых всего мира в решении проблем Гильберта, которая вышла в России в 1969 году. Но я не пишу по этой книге, так как она требует значительной математической подготовки, а для понимания некоторых отделов не хватит даже университетского курса. Так же со времени её издания даже до времени написания статьи очень изменилось положение дел с изучение проблем Гильберта. Математика уже тогда была в стадии бурного развития, она постоянно ставила перед учеными новые проблемы. Это не смотря на то, что многие старые, в том числе и проблемы Гильберта, не нашли своего решения.

Я себе поставила цель изучить именно вклад советских математиков в решение данных проблем и посмотреть, как развилась математическая наука за ХХ век на примере этой статьи.

Я считаю эту тему интересной в первую очередь для себя, и именно поэтому взяла её в основу моего реферата. Мне кажется, что сейчас, понятие математики среди школьников очень поверхностное. Все считают, что уже открыты все возможные теоремы, законы. Но это далеко не так. С каждым днём математика идет вперед, не стоит на месте. А в данной статье показано, кок она развивалась, как её развивали наши соотечественники. И мне кажется важно знать, что они сделали для мировой математики.

§1. Биография Давида Гильберта

Давид Гильберт родился в семье судьи Отто Гильберта, в городке Велау близ Кёнигсберга в Пруссии 23 января 1862. Здесь же закончил гимназию Вильзельма и поступил в Кёнигсбергский университет, где подружился с Германом Минковским и Адольфом Гурвицем. Вместе они часто совершали долгие «математические прогулки», где деятельно обсуждали решение научных проблем. Позднее Гильберт узаконил такие прогулки как неотъемлемую часть обучения своих студентов.

В 1885 году Гильберт защитил диссертацию по теории инвариантов, научным руководителем которой был Линдеман, а в следующем году стал профессором математики в Кёнигсберге. В ближайшие несколько лет фундаментальные открытия Гильберта в теории инвариантов выдвинули его в первые ряды европейских математиков.

В 1895 году по приглашению Феликса Клейна Гильберт переходит в Гёттингенский университет. На этой должности он оставался 35 лет, почти до конца жизни.

В 1900 году на Втором Международном математическом конгрессе Гильберт формулирует знаменитый список 23 нерешённых проблем математики, о которых далее и пойдет речь.

§2. Проблемы Гильберта

“Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия? Каковы будут те особенные цели, которые поставят себе ведущие математические умы ближайшего поколения? Какие новые методы и новые факты будут открыты в новом столетии на широком и богатом поле математической мысли? История учит, что развитие науки протекает непрерывно. Мы знаем, что каждый век имеет свои проблемы, которые последующая эпоха или решает, или отодвигает в сторону как бесплодные, чтобы заменить их новыми. Чтобы представить себе возможный характер развития математики в ближайшем будущем, мы должны перебрать в нашем воображении вопросы, которые еще остаются открытыми, обозреть проблемы, которые ставит современная наука, и решения которых мы ждем от будущего. Такой обзор проблем кажется мне сегодня, на рубеже нового столетия, особенно своевременным”. – Так начал свой доклад Д. Гильберт на втором математическом конгрессе восьмого августа 1900 года на заседании пятой и шестой секций.

Первые шесть проблем доклада Гильберта относятся к обоснованию различных математических дисциплин, следующие девять — к более специальным вопросам алгебры, алгебраической геометрии и теории чисел, остальные восемь — к теории функций, дифференциальным уравнениям и вариационному исчислению.

Следует отметить, что некоторые из этих проблем были поставлены задолго до Гильберта. Так, первая в списке — проблема континуума — была поставлена Г. Кантором в 1878 году, вопросы, относящиеся к третьей проблеме, обсуждались еще К. Гауссом в его переписке с Герлингом. Что касается вопросов, составляющих содержание восьмой проблемы, то один из них — гипотеза о нулях

дзета-функции — был поставлен Б. Риманом в 1859 году, другой, именуемый гипотезой Гольдбаха, — еще в 1742 году в письме последнего к Л. Эйлеру, наконец, 21-я проблема — задача, выдвинутая Б. Риманом в 1857 году. Остальные проблемы, автором которых был сам Гильберт, составляют лишь часть задач, поставленных им к тому времени. Эти обстоятельства подчеркивают особый характер выбора проблем, содержащихся в докладе, — здесь лишь те наиболее важные, по мнению Гильберта, задачи, которые стояли тогда перед математикой, размышления над которыми могли помочь “представить себе возможный характер развития математического знания в ближайшем будущем”.

На данное время, уже 113 лет спустя озвучки проблем, не решены две знаменитые проблемы. А именно восьмая (о нулях дзета-функции Римана) и шестнадцатая (о предельных циклах). Ученые во всего мира думают над решением данных проблем, но пока не находят решения, и прогнозы пока не очень ясные.

Из всех проблем только двенадцать проблем решено, из них две опровергнуты. Так же три требуют уточнения формулировки, и одна неразрешаема.

Существует ещё интересный факт, что изначально существовало 24 проблемы Гильберта. Но в процессе подготовки к докладу Гильберт отказался от одной из них. Задача была обнаружина сто лет спустя, немецким историком в заметках Гильберта. Эта задача была связана с теорией доказательств критерия простых и общих методов. В принципе эта задача тоже является нерешенной, но о ней никто официально не говорил. И следовательно не пробовали ее решать.

§3. Вклад советских математиков в решение проблем Гильберта

Так же в решении этих проблем, помимо многих талантливых математиков из различных стран мира и самого Гильберта, принимали участие и отечественные математики. Россия в то время ещё не была математической державой, как Франция или Германия, но уже обладала математическими школами. Русские делегации на конгрессах были не большими, где-то 9 человек. А это мало, по сравнению с Германией (25) и Францией (90). На данном конгрессе делегация выступила только с одним сообщением «Об исчезновении функции Н нескольких переменных».

Первой работой в России, посвящённой решению проблем Гильберта, считается работа Кагана 1903 года над третьей проблемой. Хоть она и не была решена, но исследования значительно упростили докозательство. Именно с этой проблемы и началось в России активное участие в их решении.

А уже спустя год молодой ученый, в последствии академик, Беренштейн полностью дал решение девятнадцатой проблеме. Разработка этих проблем и принесла определенную известность советским математикам, так как ранее о них мало что знали.

На протяжении всего двадцатого века ученые решали проблемы с разным успехом. Так в 1929 года Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта, а в 1934 году дал окончательное ее решение. Над данной проблемой трудились и постепенно приходили к выводам некоторые немецкие математики. Именно благодаря совместной работе ученых и была доказана седьмая проблема, как и многие другие.

Восьмая проблема Гильберта состоит из нескольких задач, относящихся к теории простых чисел. Каждый полученный здесь новый факт был событием чрезвычайной значимости. Одна из этих задач — так называемая проблема Гольдбаха: доказать, что всякое целое число, большее или равное шести является суммой трех простых.

Легко найти требуемые разложения для небольших чисел:

6 = 2 + 2 + 2,

7 = 3 + 2 + 2,

15 = 3 + 5 + 7.

Но проверять эту гипотезу на больших чисел долгое время не удавалось. К решению проблемы не удавалось найти никаких подходов. Дошло до того, что на Международном конгрессе математиков 1912 года был доклад о невозможном решении данной проблемы. Тем более сенсационным стал результат замечательного советского математика академика И. М. Виноградова, сумевшего в 1937 году решить проблему для нечетных чисел. Этот результат, а также метод его получения относят к числу наиболее выдающихся математических достижений XX века. Метод этот успешно применялся в дальнейшем для решения многих задач теории чисел. В 1946 году академик Ю. В. Линник дал другое доказательство теореме И. М. Виноградова с привлечением методов теории функций комплексного переменного.

Можноподробно рассказывать о многих Российских ученых, которые внесли свой вклад в решении этих проблем, потому что даже небольшая находка в решении проблемы уже много значила и приближала к её решению.

§4. Проблемы, решенные советскими математиками

Список проблем, решенных совесткимим математиками, или к решению которых они приблизились:

Исследование В. Ф. Кагана 1903 года, который значительно сократил и упростил решение третьей проблемы Гильберта;

В 1904 году С. Н. Бернштейн дал решение девятнадцатой проблемы

Им же в работах 1908—1909 годов были получены важные результаты, связанные с двадцатой проблемой;

В 1929 году А. О. Гельфонд дал частичное решение седьмой проблемы Гильберта;

И. Г. Петровский занимался шестнадцатой проблемой Гильберта и в 1933 году он решил одну из этих задач;

В 1934 году А. О. Гельфонд дал окончательное решение седьмой проблемы;

Делали успехи в решение пятой проблемы Л. С. Понтрягин и А. И. Мальцев, доказавшие проблему соответственно в 1934 и 1946 года для очень важных случаев, хоть и не решили её полностью;

Результаты по девятнадцатой проблеме были получены в 1937 году И. Г. Петровским;

И. М. Виноградов в 1937 году решил часть восьмой проблемы для нечетных чисел;

Одно из самых замечательных доказательств второй проблемы получил в 1943 году академик П. С. Новиков;

В работе 1949 года (совместно с О. А. Олейник) И. Г. Петровский обобщил свой результат по девятнадцатой проблеме;

В 1954 году академиком А. Н. Колмогоровым и В. И. Арнольдом были достигнуты успехи в решении тринадцатой проблемы;

В 1960 году ленинградскими математиками О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой было получено “смыкание” результатов по девятнадцатой и двадцатой проблемам Гильберта;

Десятую проблему окончательно решил Ю. В. Матиясевич в 1970 году;

Заключение

Проблемы Гильберта – одна из самых сложных задач всемирной математики. Но их решение помогло развить математику России почти из ничего и до всемирной известности. Если в начале XX века были известны лишь несколько математиков, то к концу Россию знали как великую математическую державу. Были образованы школы и университеты с математическими направлениями. Математика находится сейчас в стадии бурного развития, она постоянно ставит перед учеными новые и новые проблемы. Да и многие старые (в том числе некоторые из проблем Гильберта) до сих пор не нашли своего решения. Многие видят математику как «мертвую науку», но это не так. Математики постоянно ее развивают.

И наличие определенных проблем показывает, что у математики тоже есть своя история. Причем изучая данные проблемы я поняла, что эта история очень интересная. Я для себя узнала много нового, для многих математика – это просто набор формул и доказательств, теорем и аксиом. Так вот, математика это живая наука. Как мир живет и каждый день входит в историю, так и математика пишет свою историю.

Так же я увидела, как много значил ХХ век для математики, а в частности для математики в России. Ведь так много изменилось за это столетие. Произошел невероятный скачек в науке, в том числе и благодаря советским математикам.

Список литературы

Болибрух А. А. Бибиотека «Математическое просвещение» Выпуск 2. «Проблемы Гильберта (100 лет спустя)». // Москва, 1999 год.

Демидов С. Научно-популярный физико-математический журнал «Квант». // Москва, Ноябрь, 1977 год.

PAGE \* MERGEFORMAT11