Реферат математика

МКОУ Катайская средняя общеобразовательная школа № 1

РИСУНКИ НА КООРДИНАТНОЙ ПЛОСКОСТИ

РЕФЕРАТ

МАТЕМАТИКА

Плотникова Галина, 6 Г класс

Ослоповских Вера Александровна

Г. Катайск 2011 год

1. ВВЕДЕНИЕ

Потребность в координатах возникла еще в древние времена. Люди древнего мира много путешествовали, и им приходилось рисовать карты и отмечать на них расположение городов и стран, гор и рек, удобные дороги и опасные места. Но пользуясь только готовой картой трудно найти город, зная только его название.

Поэтому идея задавать положение точки на плоскости с помощью чисел зародилась прежде всего у географов и астрономов, которые стали составлять географические и звездные карты, календаря. Уже во II веке древнегреческий астроном Клавдий Птоломей пользовался широтой и долготой в качестве координат.

В XIV веке французский математик Николо Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой.

Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Точка плоскости — геометрический объект — заменяется парой чисел (х, у), то есть алгебраическим объектом.

2. КООРДИНАТНАЯ ПЛОСКОСТЬ

Рассмотрим пример:

места в зрительном зале кинотеатра задают двумя числами: первым числом обозначают номер ряда, а вторым — номер кресла в этом ряду. При этом места ( 3; 8) и (8; 3) различны: первое является креслом № 8 в третьем ряду, а второе — креслом № 3 в восьмом ряду.

Подобным образом можно обозначить и положение точки на плоскости. Для этой цели на плоскости проводят две перпендикулярные координатные прямые — х и у , которые пересекаются в начале отсчета — точке О. Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью.

Пусть М — некоторая точка координатной плоскости (рисунок № 1). Проведем через неё прямую МА, перпендикулярную координатной прямой х, и прямую MB, перпендикулярную координатной прямой у. Так как точка А имеет координату 6, а точка В — координату -5, то положение точки М определяется парой чисел (6: -5). Эту пару чисел называют координатами точки М, то есть координаты — это числа, взятые в определенном порядке и характеризующие положение точки на линии, на плоскости, на поверхности или в пространстве. Число 6 называют абсциссой точки М, а число -5 называют ординатой точки М. Координатную прямую х называют осью абсцисс, а координатную прямую у — осью ординат.

Точку М с абсциссой 6 и ординатой -5 обозначают так: М (6; -5). При этом всегда на первом месте пишут абсциссу точки, а на втором — её ординату. Если переставить координаты местами, то получится другая точка — N (-5; 6), которая показана на рисунке № 1.

Каждой точке М на координатной плоскости соответствует пара чисел, её абсцисса и ордината. И наоборот, каждой паре чисел соответствует одна точка плоскости, для которой эти числа являются координатами.

3. СОЗДАТЕЛИ МЕТОДА КООРДИНАТ

Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Рене Декарту, который жил в Париже в 17 веке. Декарт стремился и в философии и в любой другой науке найти математические законы, свести каждый вопрос или каждую задачу к математической. Он хотел создать такой универсальный математический метод, который позволил бы всякому овладевшему им решить любую задачу. Декарт отводил математике особое место, он считал её принципы установления истины образцом для других наук. Главное достижение Декарта — построение аналитической геометрии, в которой геометрические задачи переводились на язык алгебры при помощи метода координат. Немалой заслугой Декарта было введение удобных обозначений, сохранившихся до наших дней: латинских букв х, у, z — для неизвестных; а, Ь, с — для коэффициентов. В честь Рене Декарта прямоугольную систему координат стали называть декартовой.

Также в развитии метода координат принял участие Пьер Ферма, французский математик. В области геометрии Ферма в более систематической форме, чем Рене Декарт, развил метод координат, дав уравнения прямой и линий второго порядка и наметив доказательства положения о том, что все кривые второго порядка — конического сечения. Своими работами Ферма оказал большое влияние на дальнейшее развитие математики.

Трудно переоценить значение декартовой системы координат в развитии математики и её приложений. Огромное количество задач, требовавших для решения геометрической интуиции, специфических методов, получило решения, состоящие в аккуратном проведении алгебраических выкладок. Кривые и поверхности, определяемые ранее геометрически, получили описание в виде формул. Более того, рассматривая различные уравнения и изображая соответствующие линии и поверхности, математики получили новые геометрические образы, оказавшиеся очень полезными в приложениях, например гиперболические функции.

4.СИСТЕМЫ КООРДИНАТ

В математике существует несколько систем координат, декартовая или прямоугольная система координат; косоугольная система координат; полярная система координат; криволинейная система координат; цилиндрическая система координат и так далее.

Косоугольная система координат отличается от прямоугольной тем, что её оси не перпендикулярны. Координаты точек определяются как и в прямоугольной системе координат — по прямым, параллельным осям.

Координатная сетка вместо квадратов образует параллелограммы. В

некоторых случаях оказывается удобным менять не только угол между осями, но и брать на осях разные единицы измерения. Многие формулы, полученные в прямоугольной декартовой системе координат, остаются в силе и в косоугольной системе (рисунок № 2).

Полярная система координат — двумерная система координат, в которой каждая точка на плоскости определяется двумя числами — полярным углом и полярным радиусом. Полярные координаты точки определяются следующим образом: на плоскости задается луч ОХ. Начало луча, точка О, называется полюсом, а луч ОХ — полярной осью. Для определения положения точки М в полярной системе координат указывают расстояние от полюса до этой точки и угол поворота, переводящий полярную ось ОХ в луч ОМ. Расстояние от точки до полюса называется полярным радиусом точки и обозначается буквой р (рисунок № 3). Итак, в полярной системе координат положение точки определяют два числа (p;(f) — полярные координаты точки.

Цилиндрической системой координат называют трёхмерную систему координат, являющуюся расширением полярной системы координат путём добавления третьей координаты (обычно обозначаемой z), которая задаёт высоту точки над плоскостью (рисунок № 4).

5. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Системы координат имеют также широкое практическое применение. Так полярную систему часто применяют в навигации, поскольку пункт назначения можно задать как расстояние и направление движения от отправной точки. Например, в авиации применяют несколько измененную версию полярных координат. В этой системе используют луч О , а углы отсчитываются в направлении по часовой стрелке. Направление 360 соответствует магнитному севере, а направления 90, 180, и 270 соответствуют магнитным востоку, югу и западу.

Самое распространённое применение системы координат, конечно же, в географии — широта, долгота и высота над известным общим уровнем (например, над уровнем океана).

В астрономии координаты — это величины, при помощи которых определяется положение звезды, например, прямое восхождение и склонение. Небесные координаты — числа, с помощью которых определяют положение светил на небесной сфере. В астрономии употребляют различные системы небесных координат Каждая из них представляют собой систему полярных координат на сфере с соответствующим образом выбранным полюсом.

Наиболее используемая система координат — прямоугольная или декартовая система координат.

Самое интересное и увлекательное, на мой взгляд, применение координат — это использование их в рисунках на координатной плоскости. Нарисовать с помощью системы координат можно всё, что угодно: животных, цветы, дома, корабли, созвездия и многое, многое другое.

А сейчас я хочу показать свои рисунки на координатной плоскости.